Skalarprodukt-induzierte Norm < Skalarprodukte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Zeigen Sie, dass die Folge [mm] (x^{k})_{k\in\IN} [/mm] in X mit
[mm] x^{k}_{n}:=\bruch{1}{k} [/mm] für 1 [mm] \le [/mm] n [mm] \le [/mm] k (sonst := 0)
bezüglich der vom Skalarprodukt
[mm] :=\summe_{n=1}^{\infty}x_{n}y_{n}
[/mm]
induzierten Norm eine Cauchyfolge in X ist, die in X nicht konvergiert. |
Hallo an alle!
Mir ist zwar der grobe Lösungsweg obiger Aufgabe klar, eines bereitet mir aber seit zwei Tagen Kopfzerbrechen:
Was genau ist denn die von diesem Skalarprodukt induzierte Norm???
Mein Ansatz ist erstmal so:
Ich nehme an, dass die Folge bezüglich der vom Skalarprodukt induzierten Nomr konvergiert. (> Beweis durch Widerspruch!) Also gibt es ein y [mm] \in [/mm] X mit [mm] \limes_{k\rightarrow\infty} \parallel x^{k} [/mm] - y [mm] \parallel. [/mm]
Richtig?!
Aber wie löse ich diese Norm auf?
[mm] \parallel x^{k} [/mm] - y [mm] \parallel [/mm] = ???
DANKE FÜR'S HELFEN
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:07 Mi 28.05.2008 | | Autor: | fred97 |
Auf einem Innenproduktraum mit dem Skalarprodukt <.,.> hat man die folgende Norm (vom Skalarprodukt induziert):
||x|| = wurzel(<x,x>)
Aber: solange Du uns nicht verrätst, was für ein Raum X gemeint ist, kann ich Dir nicht helfen.
Der Hilbertraum l² kann es jedenfalls nicht sein, denn der ist vollständig.
FRED
|
|
|
| |
|
Danke für Deine Antwort!
X ist hier der reelle Vektorraum der reellen Folgen, die schließlich konstant Null sind.
Die von Dir angeführte Formel [mm] \parallel [/mm] x [mm] \parallel=... [/mm] ist mir bekannt. Aber was ist denn nun, wenn ich nicht nur ein x habe, sondern auch ein y (Grenzwert!)?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:22 Mi 28.05.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
