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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:55 So 12.09.2004 | | Autor: | regine |
Hallo,
wie kann ich an einem Integral erkennen, ob es ein Skalarprodukt darstellt?
Z.B.: <f,g> = [mm] \integral_{a}^{b} [/mm] {f(x) g(x) dx}.
Danke und viele Grüße,
Regine.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:03 So 12.09.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo Regine
Eigentlich ist es immer dasselbe: wenn eine Aufgabe darin besteht, zu untersuchen, ob ein gegebenes Objekt etwas Bestimmtes sei, dann muss man die Definition dieses Bestimmten hervorkramen und überprüfen, ob alle definierenden Eigenschaften des Bestimmten beim gegebenen Objekt eingehalten werden.
Bei deinem Beispiel:
Suche zunächst die Definition von "Skalarprodukt" und untersuche, ob alle Eigenschaften, die ein Skalarprodukt haben muss, bei deinem gegebenen Integral erfüllt sind.
In der Regel sind solche Aufgaben lediglich Fleissarbeiten, brauchen also gar keine Phantasie, fördern aber das abstrakte Denken.
Wenn du jetzt zum Beispiel die Eigenschaft "positiv definit" untersuchst:
[mm] $\beta (\vec{x},\vec{x}) [/mm] > 0$ für [mm] $\vec{x} \not [/mm] = [mm] \vec{0}$
[/mm]
(unter [mm] $\beta$ [/mm] eine Bilinearform verstanden), dann erkennst du, dass das nur der Fall ist, wenn $b > a$ ist.
Ich nehme einmal an, dass das in der Aufgabenstellung sogar so vorgegeben war, und du es einfach hier nicht wiedergegeben hast.
Unter dieser Voraussetzung ist dein Integral also positiv definit. 
Das müsste vielleicht in deiner Lösung dann schon noch detaillierter begründet sein, z.B. dass eben $f(x)*f(x) [mm] \ge [/mm] 0$ ist für alle auf dem Intervall $[a,b]$ definierten stetigen reellen Funktionen.
Auch hier nehme ich mal an, dass in der Aufgabenstellung $f$ und $g$ so definiert worden sind 
Also: überprüfe, ob es sich bei deinem Integral (oder was auch immer)
1) um eine Bilinearform handelt
2) ob diese symmetrisch ist
3) ob diese positiv definit ist
Ich hoffe, ich konnte dir die nötigen Tipps geben.
Mit lieben Grüssen
Paul
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:12 So 12.09.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo regine
da bin ich nochmals.
ich habe noch etwas Wesentliches vergessen:
alles, was ich in der Antwort gesagt habe, gilt, falls wir uns in einem reellen Vektorraum befinden.
Für einen komplexen Vektorraum müssen wir dann die Hermitesche Form hervornehmen!
Mit lieben Grüssen
Paul
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 16:41 So 12.09.2004 | | Autor: | regine |
Hallo,
wie wirkt es sich denn aus, ob der Vektorraum, auf dem das oben genannte Integral definiert ist, endlich oder unendlich dimensional ist?
Also z.B. ist das folgende Skalarprodukt gegeben:
<f,g> = [mm] \integral_{0}^{1} [/mm] {f(x) g(x) dx} mit V:= {f: [0;1] [mm] \to \IC [/mm] : f stetig }.
Danke und viele Grüße,
Regine.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:55 Mo 13.09.2004 | | Autor: | andreas |
hi Regine
vielleicht kannst du deine frage etwas konkretisieren, ich weiß nämlich nicht genau, was ich darauf antworten soll?
es ist klar, dass du dieses skalarprodukt auf unendlich-dimensionalen vektorraumen (z.b. $C([a, b], [mm] \mathbb{K})$, $L^2[a, [/mm] b]$) oder auch auf endlich-dimensionalen vektorräumen (z.b. [m] \mathcal{P}_n([a, b]) [/m] - dem raum der polynome vom grad höchstens $n$) definieren kannst.
ich sehe dabei aber keinen direkten strukturellen unterschied beim skalarprodukt.
vielleicht schreibst du einfach mal kurz auf was du hinaus willst, dann sehe ich vielleicht auch, was dein problem ist.
grüße
andreas
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