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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:01 Mi 08.11.2006 | | Autor: | Emil2 |
| Aufgabe | Zeigen Sie, dass die Bewegungsgleichung des ebenen Pendels als eindimensionale Gleichung gemäß
[mm] \bruch{d^2 \phi}{dt^2}=- \bruch{g}{l} sin(\phi)
[/mm]
geschrieben werden kann [mm] (\phi [/mm] ist der Auslenkwinkel aus der Vertikalen).
Zeigen Sie, dass die Schwingungsdauer T ausgedrückt werden kann als
T=4 [mm] \wurzel{\bruch{l}{g}} \integral_{0}^{\bruch{\pi}{2}}{\bruch{1}{\wurlzel{1-k^2sin^2(\theta)}}d\theta}
[/mm]
wobei [mm] k:=sin(\bruch{\phi_0}{2}) (\phi_0 [/mm] ist der angängliche Auslenkwinkel).
Hinweis: Drücken Sie die Bewegungsgleichung mittels [mm] u=\bruch{d\phi}{dt} [/mm] als
[mm] u\bruch{du}{d\phi} [/mm] = [mm] -\bruch{g}{l} sin(\phi)
[/mm]
integrieren Sie diese und setzen Sie dann [mm] sin(\bruch{\phi}{2})= sin(\bruch{\phi_0}{2}) sin(\theta). [/mm] |
Meine Frage ist nun:
Ich habe all dies ausgeführt und bin dann nach der Integration bei
[mm] \bruch{1}{2}u=\bruch{g}{l} [/mm] cos [mm] (\phi)
[/mm]
Jetzt muss ich da aber eigentlich einen sinus hinbekommen.
Nun probiert habe ich es mit
[mm] cos(2x)=cos^2(x) -sin^2(x) [/mm] und [mm] sin^2(x)+cos^2(x) [/mm] =1
jedoch habe ich dann entweder noch so eine störende 2 oder eine Wurzel...
jedoch kommt dann immer nur murks raus... wäre also nett, wenn einer von euch ne Idee hätte wie ich den cosinus ausdrücken kann.
vielen lieben dank
emil
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:50 Mi 08.11.2006 | | Autor: | Walde |
hi Emil2,
besser wäre es, wenn du den gesamten Weg, den du schon gerechnet hast auch posten würdest (nächstes mal, ja  ),auch wenn das für dich mehr Arbeit ist, dann haben wir es einfacher dir zu helfen und das nützt auch dir. Ich brauchte ne ganze Weile um dahinterzusteigen was abgeht und woran es hakt.
Also: wenn du an dieser Stelle bist
[mm] u\bruch{du}{d\phi}=-\bruch{g}{l}\sin(\phi) [/mm]
[mm] \gdw u=-\bruch{g}{l}\sin(\phi)*\bruch{d\phi}{du} [/mm] substituiere [mm] \phi:=\bruch{\phi}{2}, [/mm] dann hast du [mm] \bruch{d\phi}{du}=\bruch{1}{2}\bruch{d\phi}{du}
[/mm]
[mm] \gdw u=-\bruch{g}{l}\sin(\bruch{\phi}{2})*\bruch{1}{2}\bruch{d\phi}{du}
[/mm]
[mm] \gdw 2u=-\bruch{g}{l}\sin(\bruch{\phi}{2})*\bruch{d\phi}{du}
[/mm]
und wenn du das nach u intergrierst, hast du
[mm] \gdw u^2=\bruch{g}{l}\cos(\bruch{\phi}{2})
[/mm]
dann benutzt du, wie du schon geplant hattest [mm] \sin^2(x)+\cos^2(x)=1
[/mm]
[mm] \gdw u^2=\bruch{g}{l}\wurzel{1-\sin^2(\bruch{\phi}{2})} [/mm]
und ersetzt [mm] sin(\bruch{\phi}{2}) [/mm] wie angegeben
[mm] \gdw u^2=\bruch{g}{l}\wurzel{1-\sin^2(\bruch{\phi_0}{2})*\sin^2(\theta)} [/mm]
und mit [mm] k:=\sin^2(\bruch{\phi_0}{2}) [/mm] wie angegeben, sieht das doch schon mal wie die richtige Richtung aus.Ich hoffe es klappt so, weiter hab ich noch nicht probiert, aber ich will dir ja auch noch was übrig lassen
LG walde
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