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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:50 So 03.02.2008 | | Autor: | Bodo0686 |
| Aufgabe | Cosinus und Sinus:
a) Beweise die Formel cos(z) = [mm] 2*cos^2(z/2) [/mm] - 1 [mm] \forall [/mm] z [mm] \in \IC
[/mm]
b) Beweise die Formel sin(z) = 2*sin(z/2)*cos(z/2) [mm] \forall \in \IC
[/mm]
c) Berechne cos [mm] (\pi/4) [/mm] und sin [mm] (\pi/4)
[/mm]
d) Zeige (per Induktion) für z [mm] \in \IC [/mm] und n [mm] \in \IN:
[/mm]
sin(z) = [mm] 2^n [/mm] * sin * [mm] (z/2^n) [/mm] * cos (z/2) * ... * cos [mm] (z/2^n)
[/mm]
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Hallo Zusammen,
könnt ihr mir bei obiger Aufgabe behilflich sein? Sitze schon den ganzen morgen daran und komm nicht weiter...
Danke und Grüße
Ich habe diese Aufgabe in keinem weiteren Forum gestellt!
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> Cosinus und Sinus:
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> a) Beweise die Formel cos(z) = [mm]2*cos^2(z/2)[/mm] - 1 [mm]\forall[/mm] z
> [mm]\in \IC[/mm]
> b) Beweise die Formel sin(z) = 2*sin(z/2)*cos(z/2)
> [mm]\forall \in \IC[/mm]
> c) Berechne cos [mm](\pi/4)[/mm] und sin [mm](\pi/4)[/mm]
> d) Zeige (per Induktion) für z [mm]\in \IC[/mm] und n [mm]\in \IN:[/mm]
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> sin(z) = [mm]2^n[/mm] * sin * [mm](z/2^n)[/mm] * cos (z/2) * ... * cos
> [mm](z/2^n)[/mm]
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> Hallo Zusammen,
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> könnt ihr mir bei obiger Aufgabe behilflich sein? Sitze
> schon den ganzen morgen daran und komm nicht weiter...
Zu a) und b): Was kannst Du denn als bekannt voraussetzen? - Sind die Additionstheoreme für [mm] $\cos$ [/mm] und [mm] $\sin$ [/mm] bekannt? In diesem Falle sind a) und b) einfache Anwendungen dieser Additionstheoreme (plus "trigonometrischer Pythagoras").
[mm]\cos(z)=\cos\big(\tfrac{z}{2}+\tfrac{z}{2}\big)\red{=}\cos^2\big(\tfrac{z}{2}\big)-\sin^2\big(\tfrac{z}{2}\big)=\ldots[/mm]
bzw.
[mm]\sin(z)=\sin\big(\tfrac{z}{2}+\tfrac{z}{2}\big)\red{=}\sin\big(\tfrac{z}{2}\big)\cdot \cos\big(\tfrac{z}{2}\big)+\cos\big(\tfrac{z}{2}\big)\cdot \sin\big(\tfrac{z}{2}\big)=\ldots[/mm]
Aufgrund des sogenannten "Identitätssatzes" für analytische Funktionen genügt es übrigens, solche Sätze (wie das Additionstheorem) für reelle Argumente zu beweisen.
c) vielleicht aus a) und b)?
Bei d) könnte man $n$-mal die Beziehung [mm] $\sin(z)=2\sin\big(\tfrac{z}{2}\big)\cdot\cos\big(\tfrac{z}{2}\big)$ [/mm] anwenden, indem man zuerst einen Summanden [mm] $\tfrac{z}{2}$, [/mm] dann davon einen Summanden [mm] $\tfrac{z}{2^2}$ [/mm] usw. abspaltet:
[mm]\begin{array}{lcl}
\sin(z) &=& 2\cdot \sin\big(\tfrac{z}{2}\big)\cdot\cos\big(\tfrac{z}{2}\big)\\
&=& 2\cdot 2\cdot\sin\big(\tfrac{z}{2^2}\big)\cdot\cos\big(\tfrac{z}{2^2}\big)\cdot \cos\big(\tfrac{z}{2}\big)\\
&=&2\cdot 2\cdot 2\sin\big(\tfrac{z}{2^3}\big)\cdot\cos\big(\tfrac{z}{2^3}\big)\cdot\cos\big(\tfrac{z}{2^2}\big)\cdot \cos\big(\tfrac{z}{2}\big)\\
&=& \ldots
\end{array}[/mm]
Bei der vorgegebenen Lösung ist lediglich die Reihenfolge der [mm] $\cos\big(\tfrac{z}{2^m}\big)$-Faktoren [/mm] umgekehrt gewählt wie bei der obigen Lösungsskizze: wohl um die Lösung eine Spur weniger offensichtlich zu machen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:34 So 03.02.2008 | | Autor: | Bodo0686 |
Hallo,
ok! Habe die Aufgaben soweit gelöst! Nur bei Aufgabe d) soll ja mit Induktion geschehen...
In einer weiteren Aufgabe die über das Vietasches Produkt handelt heißt es:
Zeige mittels Aufgabe d) (sin(x)/x) = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \produkt_{k=1}^{n} cos(x/2^k)) [/mm] für alle x [mm] \not= [/mm] 0
Bitte um Hilfe!!!
Danke nochmal für die Tipps für a-c-(d) !
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> Hallo,
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> ok! Habe die Aufgaben soweit gelöst! Nur bei Aufgabe d)
> soll ja mit Induktion geschehen...
Es ist doch kein grosses Problem das ganze noch schön brav per Induktion zu beweisen, wenn man gesehen hat, was die Grundidee ist. Wir behaupten also, dass für alle [mm] $n\in \IN$ [/mm] gilt [mm] $\sin(z)=2^n \sin\big(\tfrac{z}{2^n}\big)\cdot\prod_{k=1}^n\cos\big(\tfrac{z}{2^k}\big)$
[/mm]
1. Induktionsanfang: Die Behauptung gilt für $n=0$, denn es ist
[mm]2^0\cdot\sin\big(\tfrac{z}{2^0}\big)\cdot \prod_{k=1}^0\cos\big(\tfrac{z}{2^k}\big)=1\cdot\sin(z)\cdot 1=\sin(z)[/mm]
2. Induktionsschritt: Die Behauptung gelte für $n$ (Induktionsvoraussetzung), zu zeigen: die Behauptung gilt auch für $n+1$, da
[mm]\begin{array}{lcll}
\sin(z) &\blue{=}&2^n \sin\big(\tfrac{z}{2^n}\big) \cdot\prod_{k=1}^n\cos\big(\tfrac{z}{2^k}\big) & \text{(wegen Induktionsvoraussetzung)}\\
&=&2^n \sin\big(\tfrac{z}{2^{n+1}}+\tfrac{z}{2^{n+1}}}\big)\prod_{k=1}^n\cos\big(\tfrac{z}{2^k}\big)\\
&\overset{\text{b)}}{=}&2^n \cdot 2\sin\big(\tfrac{z}{2^{n+1}}}\big)\cos\big(\tfrac{z}{2^{n+1}}}\big)\prod_{k=1}^n\cos\big(\tfrac{z}{2^k}\big)\\
&=& 2^{n+1}\sin\big(\tfrac{z}{2^{n+1}}\big)\prod_{k=1}^{n+1}\cos\big(\tfrac{z}{2^k}\big) &\text{(Behauptung für $n+1$)}\end{array}
[/mm]
Induktionsschluss: Aus 1. und 2. folgt, dass die Behauptung für alle [mm] $n\in \IN$ [/mm] gilt.
>
> In einer weiteren Aufgabe die über das Vietasches Produkt
> handelt heißt es:
>
> Zeige mittels Aufgabe d) (sin(x)/x) =
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \produkt_{k=1}^{n} cos(x/2^k))[/mm] für alle [mm]x \not= 0[/mm]
>
Folgendes gilt gemäss d) für alle [mm] $n\in \IN$:
[/mm]
[mm]\frac{\sin(x)}{x} \overset{\text{d)}}{=} \frac{2^n\sin\big(\tfrac{x}{2^n}\big)\prod_{k=1}^n\cos\big(\tfrac{x}{2^k}\big)}{x}\\
= \frac{\sin\big(\tfrac{x}{2^n}\big)}{\frac{x}{2^n}}\cdot \prod_{k=1}^n\cos\big(\tfrac{x}{2^k}\big)[/mm]
Es ist aber bekanntlich [mm] $\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\sin\big(\tfrac{x}{2^n}\big)}{\frac{x}{2^n}}=1$. [/mm] Somit bleibt dem Produkt [mm] $\prod_{k=1}^n\cos\big(\tfrac{x}{2^k}\big)$ [/mm] gar nichts anderes übrig, als für [mm] $n\rightarrow\infty$ [/mm] gegen den Ausgsgangsterm [mm] $\frac{\sin(x)}{x}$ [/mm] dieser Umformungskette zu gehen.
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