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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:06 Fr 25.05.2007 | | Autor: | E-Storm |
| Aufgabe | Finde eine geschlossene Formel für den Ausdruck
[mm] \summe_{k=0}^{n} [/mm] sin (kx) (x [mm] \in \IR [/mm] \ {...,- [mm] 4\pi [/mm] , - 2 [mm] \pi [/mm] , 0 , 2 [mm] \pi [/mm] , 4 [mm] \pi [/mm] , ...}
indem du den Imaginärteil der Summe [mm] \summe_{k=0}^{n} [/mm] und die Formel für die geometrische Reihe betrachtest. |
Ich brauche unbedingt einen Lösungsansatz, ich weiß absolut nicht, wie ich an diese Aufgabe rangehen soll, ich hoffe mir kann da einer helfen. MfG Thomas.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:15 Fr 25.05.2007 | | Autor: | kornfeld |
> Finde eine geschlossene Formel für den Ausdruck
>
> [mm]\summe_{k=0}^{n}[/mm] sin (kx) (x [mm]\in \IR[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
\ {...,- [mm]4\pi[/mm] , -
> 2 [mm]\pi[/mm] , 0 , 2 [mm]\pi[/mm] , 4 [mm]\pi[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
, ...}
>
> indem du den Imaginärteil der Summe [mm]\summe_{k=0}^{n}[/mm] und
> die Formel für die geometrische Reihe betrachtest.
Welchen Imaginaerteil? So wie du die Reihe schreibst ist sie reell...
Kornfeld
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:42 Sa 26.05.2007 | | Autor: | E-Storm |
Es soll folgendermaßen lauten :
Finde eine geschlossene Formel für den Ausdruck
"Summe über n für k=0 sin(kx) x element R \ {. . . ,−4phi,−2phi, 0, 2phi, 4phi, . . .}
indem Du den Imaginärteil der
"Summe über n für k=0 [mm] (e^ix)^k [/mm] "
und die Formel für die geometrische Reihe betrachtest.
Ich hoffe jetzt ist es eindeutig, also ich brauche irgendwie einen Lösungsansatz, mfg Thomas
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:26 So 27.05.2007 | | Autor: | kornfeld |
> Es soll folgendermaßen lauten :
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> Finde eine geschlossene Formel für den Ausdruck
>
> "Summe über n für k=0 sin(kx) x element R \ {. . .
> ,−4phi,−2phi, 0, 2phi, 4phi, . . .}
Soll "phi" [mm] $\pi$ [/mm] sein? Ich vermute auch, dass du Vorzeichen unterschlagen hast (muss es nicht vielleicht [mm] $\sum (-1)^k \sin(kx)$ [/mm] lauten?
Grund fuer meine Vermutung ist die Tatsache, dass der Imaginaerteil von [mm] $\sum e^{ikx}$ [/mm] eben jene alternierende Reihe ist....Ausserdem ist [mm] $\sum \sin(k\frac{\pi}{2})$ [/mm] divergent.
> indem Du den Imaginärteil der
>
> "Summe über n für k=0 [mm](e^ix)^k[/mm] "
>
> und die Formel für die geometrische Reihe betrachtest.
>
> Ich hoffe jetzt ist es eindeutig, also ich brauche
> irgendwie einen Lösungsansatz, mfg Thomas
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:48 Mo 28.05.2007 | | Autor: | E-Storm |
Also es tut mir Leid, dass die Aufgabenstellung so ein Problem darstellt, aber irgendwie kommt einfach nicht das richtige heraus, wenn ich es einfach kopieren, darum probier ich es jetzt nochmal mit den hier gegebenen Formelsystem hinzubekommn. Also die Aufgabenstellung :
Finde eine geschlossen Formel für den Ausdruck
[mm] \summe_{k=0}^{n} [/mm] sin (kx) ( x [mm] \in \IR [/mm] \ {..., -4 [mm] \pi [/mm] , -2 [mm] \pi [/mm] , 0 , 2 [mm] \pi [/mm] , 4 [mm] \pi [/mm] , ... } )
indem du den Imaginärteil der Summe [mm] \summe_{k=0}^{n} (e^{ix})^k
[/mm]
und die Formel für die geometrische Reihe betrachtest.
So lautet die Aufgabenstellung definitiv, ohne weitere Zusätze oder Ähnlichem, ich hoffe sie können mir nun helfen, im Vorfeld vielen Dank für die Mühe! Thomas
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:42 Mo 28.05.2007 | | Autor: | kornfeld |
Jetzt habe ich es verstanden. Ich weiss aber im Augenblick auch keinen Ansatz. Du kannst ja mal versuchen, [mm] $Im(e^{iy})=\sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^{k}y^{2k+1}}{(2k +1)!}$ [/mm] zu benutzen.
LG Kornfeld
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 17:02 Di 29.05.2007 | | Autor: | E-Storm |
| Aufgabe | Finde eine geschlossene Formel für den Ausdruck
[mm] \summe_{k=0}^{n} [/mm] sin (kx) = (x [mm] \in \IR [/mm] {..., -4 [mm] \pi [/mm] ,-2 [mm] \pi [/mm] ,0,2 [mm] \pi [/mm] ,4 [mm] \pi [/mm] ,...})
indem du den Imgaginärteil der Summe [mm] \summe_{k=0}^{n} (e^{ix})^k [/mm] und die Formel für die geometrische Reihe betrachtest. |
Also ich hab jetzt die Sinussumme folgendermaßen umgeformt :
[mm] \summe_{k=0}^{n} [/mm] sin (kx) = [mm] \bruch{1}{2i} \summe_{k=0}^{n} e^{ikx} [/mm] - [mm] e^{-ikx} [/mm] )
= [mm] \bruch{1}{2i} \summe_{k=0}^{n} [/mm] ( [mm] e^{ix} )^k [/mm] - [mm] \bruch{1}{2i} \summe_{k=0}^{n} [/mm] ( [mm] e^{-ix})^k [/mm]
jetzt kann ich die Formel für die geometrische Reihe anwenden, sie lautet
[mm] \summe_{k=0}^{n} q^n [/mm] = [mm] \bruch{1-q^{n+1}}{1-q} [/mm] das q wäre in
dem Fall ja ( [mm] e^{-ix})^k [/mm] . Kann das eine Lsg des Problems sein ??? Und falls ja wie kann man das elegant umformen, dass eine ansehnlich Form herauskommt???
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:23 Di 29.05.2007 | | Autor: | JimMcCann |
So, bin glaube im selben kurs wie du ... sitz also auch an der aufgabe.
Hab ungefähr das selbe probl. wie du und mir ist folgendes aufgefallen:
Du machst doch die Umformung:
sin (kx) = [mm] \bruch{1}{2i} [/mm] ( [mm] e^{ikx} [/mm] - [mm] e^{-ikx} [/mm] )
er meinte allerdings meiner Meinung nach im Tutorium, dass bereits
sin (x) = [mm] \bruch{1}{2i} [/mm] ( [mm] e^{iLx} [/mm] - [mm] e^{-iLx} [/mm] ) L = [mm] \lambda
[/mm]
also müsste
sin (kx) = [mm] \bruch{1}{2i} [/mm] ( [mm] e^{ikLx} [/mm] - [mm] e^{-ikLx} [/mm] )
sein. oder ...? und dann hat man da irgenwie ewig viele exponenten.
weißt du was [mm] \lambda [/mm] ist? Ist das ne konstante oder läuft das auch durch?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:56 Sa 09.06.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo
> Finde eine geschlossene Formel für den Ausdruck
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> [mm]\summe_{k=0}^{n} \sin (kx)[/mm] ($x [mm] \in \IR \setminus \{...,-4\pi, - 2\pi , 0 , 2 \pi , 4 \pi , ...\}$
[/mm]
>
> indem du den Imaginärteil der Summe [mm]\summe_{k=0}^{n} (e^{i x})^k[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
und
> die Formel für die geometrische Reihe betrachtest.
Es ist ja $\sin x = \Im e^{i x}$ fuer $x \in \IR$. Damit ist $\sum_{k=0}^n \sin(k x) = \sum_{k=0}^n \Im e^{i k x} = \Im \sum_{k=0}^n e^{i k x}$, und es ist $\sum_{k=0}^n e^{i k x} = \sum_{k=0}^n (e^{i x})^k = \frac{1 - (e^{i x})^{n+1}}{1 - e^{i x}}$ fuer $e^{i x} \neq 1$ (was aequivalent zu $\cos x = 1$ und $\sin x = 0$ ist; das ist wiederum der Fall, wenn $x = \ell 2 \pi$ fuer ein $\ell \in \IZ$ ist).
So, nun ist also $\sum_{k=0}^n \sin(k x) = \Im \frac{1 - e^{i (n + 1) x}{1 - e^{i x}}$. Nun ist $\frac{1 - e^{i (n + 1) x}}{1 - e^{i x}} = \frac{(1 - e^{i (n + 1) x}) (1 - e^{- i x})}{(1 - e^{i x}) (1 - e^{- i x})} = \frac{1 - e^{i (n + 1) x} - e^{i x} + e^{i ni x}}{2 - (e^{i x} + e^{- i x})} = \frac{1 - e^{i (n + 1) x} - e^{i x} + e^{i n x}}{2 - 2 \cos x}$ und somit $\sum_{k=0}^n \sin(k x) = \Im \frac{1 - e^{i (n + 1) x}{1 - e^{i x}} = \frac{- \Im \sin((n + 1) x) - \sin x - \sin n x}{2 - 2 \cos x}$. (Wenn ich mich jetzt nicht verrechnet hab.)
LG Felix
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