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Sinus: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:06 Mo 30.03.2009
Autor: McArthur

Aufgabe
Zeigen Sie für alle $ n [mm] \in \IN [/mm] $, und $ x [mm] \in\IR [/mm]  $ das $|sin(nx)|$ [mm] \le [/mm] $n [mm] \cdot|sin(x)|$ [/mm]

Ich habe mir bereits folgendes überlegt:
Da $sin(x)$ periodisch verläuft gilt $sin(nx) = 0$ für $x = [mm] k*\pi/n$, [/mm] das heißt je größer n desto mehr Nullstellen gibt es im Intervall [mm] $[0,\pi/2]$. [/mm] Extrema von $|sin(n [mm] \cdot [/mm] x)|$ ist 1.
Nullstellen von $ n [mm] \cdot [/mm] |sin(x)|$ ist k [mm] \cdot \pi [/mm] und die Extrema liegen bei $ n [mm] \cdot [/mm] 1$.

Hilft mir das irgendwie weiter? Oder bin ich total auf dem Holzweg und sollte es über einen anderen Weg versuchen? Über Tipps bin ich sehr dankbar!


Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Sinus: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:22 Mo 30.03.2009
Autor: fred97

Was ist denn $I$ ?

FRED

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Bezug
Sinus: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:55 Mo 30.03.2009
Autor: McArthur

Es sollte natürlich heißen $n [mm] \in \IN [/mm] $

Bezug
        
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Sinus: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:02 Mo 30.03.2009
Autor: Kroni

Hi,

bist du dir sicher, dass deine Aufgabe so lautet? Ich hätte zB ein Gegenbeispiel gefunden:

Sei [mm] $n=2\in\IN$ [/mm] und [mm] $x=\frac{\pi}{2}\in\IR$ [/mm]

Dann ist [mm] $|\sin(2\cdot\frac{\pi}{2})|=|\sin(\pi)|=0$ [/mm] und [mm] $2\cdot|\sin(\frac{\pi}{2})|=2\cdot1=2$, [/mm] also [mm] $0\not=2$, [/mm] und damit gilt die Aussage nicht, dass das für alle [mm] $n\in\IN$ [/mm] und [mm] $x\in\IR$ [/mm] gilt.

LG

Kroni

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Sinus: Korrektur
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:14 Mo 30.03.2009
Autor: McArthur

Ja das stimmt natürlich.
Es soll heißen [mm] $|sin(nx)|\le [/mm] n*|sin(x)|$.
Sorry!

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Sinus: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:19 Mo 30.03.2009
Autor: Kroni

Hi,

okay, dann macht das Sinn.

Denk mal über die Beschränktheit des [mm] $\sin$ [/mm] nach und schätze zwischen [mm] $|\sin(nx)|$ [/mm] und [mm] $n|\sin(x)|$ [/mm] mal "grob" ab und Argumentiere mit der Beschränktheit der Funktion. Dann sollte das ziemlich schnell klar werden, warum die Ungleichung gilt.

LG

Kroni

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Sinus: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:09 Di 31.03.2009
Autor: fred97

Nachdem nun klar ist, was zu tun ist , mein Vorschlag:  Induktion.

Sei x [mm] \in \IR. [/mm]

Beh.: [mm] $|sin(nx)|\le [/mm] n|sin(nx)|$  für jedes n [mm] \in \IN [/mm]

Beweis:

Ind. -Anfang: n = 1 ist klar.

Ind. - Vor.: sei n [mm] \in \IN [/mm] und [mm] $|sin(nx)|\le [/mm] n|sin(nx)|$

n [mm] \to [/mm] n+1:

$|sin((n+1)x)| = |sin(nx)cos(x)+cos(nx)sin(x)| [mm] \le [/mm] |sin(nx)||cos(x)|+|cos(nx)||sin(x)|$

[mm] $\le [/mm] |sin(nx)|+|sin(x)| [mm] \le [/mm] n|sin(x)|+|sin(x)| = (n+1)|sin(x)|$

FRED

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Sinus: Dan ke
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:07 Di 31.03.2009
Autor: McArthur

Danke für die tolle Hilfe, Fred!

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