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| Aufgabe | Berechne:
[mm] \summe_{k=1}^{n} sin(k*(2\pi/n))
[/mm]
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Also das ist ein Teil mer aufgabe und irgednwie häng ich da total und kómm nicht drauf was ich mit dem sinus machen soll oder kann damit ich danmit weiter rechnen kann!
Danke
lg
PS: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:26 Sa 24.11.2007 | | Autor: | Blech |
> Berechne:
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> [mm]\summe_{k=1}^{n} sin(k*(2\pi/n))[/mm]
[mm]=\summe_{k=1}^{n} sin(2\pi*\frac{k}{n})[/mm]
[mm] $\sin(2\pi [/mm] - [mm] \alpha)=-\sin(\alpha)$
[/mm]
Damit Du das ausnutzen kannst mußt Du die Summe in 2 (bzw. 3) Teilsummen aufspalten.
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Also ich habe es mir jetzt etwas anders überlegt und diesen ansatz gewählt:
e^(i*x) = cosx + i*sinx
da ich von [mm] \pi/2 [/mm] bis 0 die teilsummen berechnen soll => sinx = Im (e^(i*x))
das heißt es steht dann bei mir:
[mm] (\pi/2n)*(\summe_{k=1}^{n} [/mm] (Im [mm] (e^{i*k*(\pi/(2*n))})
[/mm]
wenn ich herumrechne bleibt bei mir stehen:
Im (1+i)
und dann kann ich doch einfach sagen dass die lösung 1 ist, da mich nur der realteil intressiert oder?
ist das so alles schlüssig und richtig??
lg
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> Also ich habe es mir jetzt etwas anders überlegt und diesen
> ansatz gewählt:
>
> e^(i*x) = cosx + i*sinx
> da ich von [mm]\pi/2[/mm] bis 0 die teilsummen berechnen soll =>
> sinx = Im (e^(i*x))
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> das heißt es steht dann bei mir:
>
> [mm](\pi/2n)*(\summe_{k=1}^{n}[/mm] (Im [mm](e^{i*k*(\pi/(2*n))})[/mm]
>
Warum nicht der Imaginärteil der geometrischen Reihe
[mm]\sum_{k=1}^n \sin\left(k\cdot\tfrac{\pi}{n}\right)=\mathrm{Im}\left(\sum_{k=1}^n \left(\mathrm{e}^{\mathrm{i}\pi/n}\right)^k\right)=
\mathrm{Im}\left(\mathrm{e}^{\mathrm{i}\pi/n}\cdot\frac{1-\mathrm{e}^{\mathrm{i}\pi}}{1-\mathrm{e}^{\mathrm{i}\pi/n}}}\right)[/mm]
> wenn ich herumrechne bleibt bei mir stehen:
>
> Im (1+i)
Ich erhalte etwas anderes, sorry. Nimm einmal $n=1$, dann ist [mm] $\sum_{k=1}^n\sin(k\pi/n)=\sin(\pi)=0\neq [/mm] 1$. Also kann etwas an Deiner Rechnung nicht stimmen, sorry.
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also ich habe es sehr ähnlich nur du hast einmal den zweier vergessen es heißt [mm] k*\pi/(2n).
[/mm]
und bei mir sieht es dann so aus:
[mm] \sum_{k=1}^n \sin\left(k\cdot\tfrac{\pi}{2n}\right)=\mathrm{Im}\left(\sum_{k=1}^n \left(\mathrm{e}^{\mathrm{i}*k*\pi/2n}\right)\right)= \mathrm{Im}\frac{1-\mathrm{e}^{\mathrm{i}\pi/2}}{1-\mathrm{e}^{\mathrm{i}\pi/2n}}
[/mm]
also ich weiß ja dass das ergebins 1 sein muss da das integral von [mm] \pi/2 [/mm] bis 0 mir diesen wert liefert für die fläche.
und bei mir geht es sich sehr schön aus, deshalb wäre es schon etwas komisch wenn da alles falsch ist.
vergiss auch nicht dass du das ganze noch mit [mm] \pi/2n [/mm] multiplizieren musst!
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> also ich habe es sehr ähnlich nur du hast einmal den zweier
> vergessen es heißt [mm]k*\pi/(2n).[/mm]
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> und bei mir sieht es dann so aus:
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> [mm]\sum_{k=1}^n \sin\left(k\cdot\tfrac{\pi}{2n}\right)=\mathrm{Im}\left(\sum_{k=1}^n \left(\mathrm{e}^{\mathrm{i}*k*\pi/2n}\right)\right)= \mathrm{Im}\frac{1-\mathrm{e}^{\mathrm{i}\pi/2}}{1-\mathrm{e}^{\mathrm{i}\pi/2n}}[/mm]
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> also ich weiß ja dass das ergebins 1 sein muss da das
> integral von [mm]\pi/2[/mm] bis 0 mir diesen wert liefert für die
> fläche.
> und bei mir geht es sich sehr schön aus, deshalb wäre es
> schon etwas komisch wenn da alles falsch ist.
>
> vergiss auch nicht dass du das ganze noch mit [mm]\pi/2n[/mm]
> multiplizieren musst!
Also Deine ursprüngliche Aufabenstellung war nur diese: Berechne [mm] $\summe_{k=1}^{n} sin(k\cdot{}(2\pi/n))$
[/mm]
Wo hier eine Multiplikation des Ganzen mit [mm] $\pi/2n$ [/mm] vorzunehmen sein sollte, kann ich im Moment nicht sehen.
Richtig ist allerdings, dass ich in der Schnelle den Faktor $2$ im Argument des [mm] $\sin$ [/mm] vergessen habe (schlicht überlesen habe). Insofern ist meine Lösung nicht exakt die Lösung Deiner ursprünglichen Aufgabe.
Hauptsache, Du kannst Deine Aufgabe nun selbst lösen....
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