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| Aufgabe | | $0$ sei ein Pol in $f$, d.h. [mm] $$|f(z)|\to\infty\;\;\;\text{für }z\to [/mm] 0$$ Dann ist $0$ eine hebbare Singularität von [mm] $$g(z):=\frac{zf'(z)}{f(z)}$$ [/mm] |
Das $0$ ein Pol ist sagt uns [mm] $$|g(z)|=|zf'(z)|\frac{1}{|f(z)|}\to 0\;\;\;\text{für }z\to [/mm] 0$$ Doch was können wir daraus weiter folgern? Hier komme ich einfach nicht weiter.
Liebe Grüße
Differential
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:49 So 06.07.2014 | | Autor: | felixf |
Moin!
> $0$ sei ein Pol in $f$, d.h.
> [mm]|f(z)|\to\infty\;\;\;\text{für }z\to 0[/mm] Dann ist $0$ eine
> hebbare Singularität von [mm]g(z):=\frac{zf'(z)}{f(z)}[/mm]
>
> Das $0$ ein Pol ist sagt uns
> [mm]|g(z)|=|zf'(z)|\frac{1}{|f(z)|}\to 0\;\;\;\text{für }z\to 0[/mm]
Nein, das stimmt nicht.
> Doch was können wir daraus weiter folgern? Hier komme ich
> einfach nicht weiter.
Wenn das stimmen wuerde, koenntest du den ![[]](/images/popup.gif) Riemannschen Hebbarkeitssatz anwenden.
Alternativ kannst du aber auch wie folgt vorgehen: habe $f$ in 0 einen Pol der Ordnung $n$. Dann kannst du $f(z) = [mm] z^{-n} \cdot [/mm] g(z)$ (fuer $z [mm] \neq [/mm] 0$) schreiben mit $g(z)$ um 0 herum holomorph und dort ohne Nullstelle. Damit kannst du jezt $z f'(z) / f(z)$ etwas genauer anschauen.
LG Felix
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Hallo Felix,
ich bezeichne dein $g$ mal mit $h$, da $g$ schon in der Eingangsfrage verwendet wurde. Mit den neuen Überlegungen erhalten wir [mm] $$g(z)=z\frac{h'(z)}{h(z)}-n$$ [/mm] Damit ist mir aber noch nicht viel geholfen, denn nun sieht $g$ fast genau so aus wie vorher. Lediglich eine holomorphe Funktion ($f$) wurde durch eine andere ($h$) ersetzt und von letzterer weiß ich jetzt sogar noch weniger ($f$ hatte einen Pol in $0$).
Oder können wir noch mehr sagen?
Liebe Grüße
Differential
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:34 So 06.07.2014 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Hallo Felix,
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> ich bezeichne dein $g$ mal mit $h$, da $g$ schon in der
> Eingangsfrage verwendet wurde. Mit den neuen Überlegungen
> erhalten wir [mm]g(z)=z\frac{h'(z)}{h(z)}-n[/mm] Damit ist mir aber
Du meinst wohl eher [mm] $\cdot [/mm] (-n)$, als $n$ vom Term abziehen?
> noch nicht viel geholfen, denn nun sieht $g$ fast genau so
> aus wie vorher. Lediglich eine holomorphe Funktion ($f$)
> wurde durch eine andere ($h$) ersetzt und von letzterer
> weiß ich jetzt sogar noch weniger ($f$ hatte einen Pol in
> $0$).
Oh doch, du weisst viel mehr. $h$ hat naemlich in der Naehe von $0$ keine Nullstelle.
LG Felix
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Hm, wir haben doch [mm] $$f'(z)=\frac{1}{z^n}\left\{h'(z)-n\frac{h(z)}{z}\right\}$$ [/mm] Damit folgt für mich [mm] $$\frac{zf'(z)}{f(z)}=\frac{zh'(z)-nh(z)}{h(z)}=z\frac{h'(z)}{h(z)}-n$$ [/mm] Wo ist der Fehler?
Das [mm] $h(z_0)\ne [/mm] 0$ gilt, ist klar. Aber was genau bringt mir das? Bitte gehe etwas mehr ins Detail.
Liebe Grüße
Differential
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(Antwort) fertig | | Datum: | 06:12 Mo 07.07.2014 | | Autor: | fred97 |
> Hm, wir haben doch
> [mm]f'(z)=\frac{1}{z^n}\left\{h'(z)-n\frac{h(z)}{z}\right\}[/mm]
> Damit folgt für mich
> [mm]\frac{zf'(z)}{f(z)}=\frac{zh'(z)-nh(z)}{h(z)=z\frac{h'(z)}{h(z)}-n[/mm]
> Wo ist der Fehler?
>
> Das [mm]h(z_0)\ne 0[/mm] gilt, ist klar. Aber was genau bringt mir
> das? Bitte gehe etwas mehr ins Detail.
Zeige, dass der Grenzwert [mm] \limes_{z\rightarrow 0}\frac{zf'(z)}{f(z)} [/mm] in [mm] \IC [/mm] existiert.
FRED
>
> Liebe Grüße
> Differential
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Tut mir leid für die verhunzte Formel; habe das oben mal korrigiert. Du bist aber leider nicht darauf eingegangen, ob es nun richtig ist oder nicht, denn ich sehe da keinen Fehler.
Ich denke mal, dass du meinst, dass ich zeigen soll, dass der Grenzwert [mm] $$z\frac{h'(z)}{h(z)}$$ [/mm] existiert und damit $0$ kein Pol in dieser Funktion ist, oder?
Wäre dem nicht so, so wäre $0$ ein Pol zweiter Ordnung in $f$, d.h. [mm] $$f(z)=\frac{1}{z^2}\tilde{h}(z)$$ [/mm] Ist das der richtige Ansatz? Und wie führt das zu einem Widerspruch?
Liebe Grüße
Differential
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:37 Mo 07.07.2014 | | Autor: | fred97 |
Es ist
[mm] $\bruch{z*f'(z)}{f(z)}=\bruch{z*h'(z)}{h(z)}-n$
[/mm]
Das hattest Du schon richtig. Wegen h(0) [mm] \ne [/mm] 0 folgt:
[mm] \limes_{z\rightarrow 0} \bruch{z*f'(z)}{f(z)}=\bruch{0*h'(0)}{h(0)}-n=-n$
[/mm]
Der Riemannsche Hebbarkeitssatz sagt nun: [mm] $\bruch{z*f'(z)}{f(z)}$ [/mm] hat in 0 eine hebbare Singularität.
FRED
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Den Satz kenne ich leider nicht, aber folgt nicht auch ganz einfach, dass in einer Umgebung von $0$ die Funktion beschränkt ist? Das würde ja genügen, um den Nachweis für die Hebbarkeit von $0$ erbracht zu haben.
Gruß
Differential
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:58 Mo 07.07.2014 | | Autor: | fred97 |
> Den Satz kenne ich leider nicht, aber folgt nicht auch ganz
> einfach, dass in einer Umgebung von [mm]0[/mm] die Funktion
> beschränkt ist? Das würde ja genügen, um den Nachweis
> für die Hebbarkeit von [mm]0[/mm] erbracht zu haben.
Das ist doch der erwähnte Satz !!!!
FRED
>
> Gruß
> Differential
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(Antwort) fertig | | Datum: | 06:35 Di 08.07.2014 | | Autor: | fred97 |
Du kannst es auch so machen: Die Funktion h ist auf einer Umgebung U von 0 holomorph und wegen h(0) [mm] \ne [/mm] 0 können wir annehmen, dass U so "klein" ist, dass gilt: h(z) [mm] \ne [/mm] 0 für alle z [mm] \in [/mm] U.
Für z [mm] \in [/mm] U [mm] \setminus \{0\} [/mm] gilt:
(*) $ [mm] \bruch{z\cdot{}f'(z)}{f(z)}=\bruch{z\cdot{}h'(z)}{h(z)}-n [/mm] $
Die rechte Seite von (*) ist auf U holomorph. Damit hat [mm] \bruch{z\cdot{}f'(z)}{f(z)} [/mm] eine holomorphe Fortsetzung auf U.
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 07:23 Di 08.07.2014 | | Autor: | felixf |
Moin Fred,
> Du kannst es auch so machen: Die Funktion h ist auf einer
> Umgebung U von 0 holomorph und wegen h(0) [mm]\ne[/mm] 0 können wir
> annehmen, dass U so "klein" ist, dass gilt: h(z) [mm]\ne[/mm] 0 für
> alle z [mm]\in[/mm] U.
>
> Für z [mm]\in[/mm] U [mm]\setminus \{0\}[/mm] gilt:
>
> (*)
> [mm]\bruch{z\cdot{}f'(z)}{f(z)}=\bruch{z\cdot{}h'(z)}{h(z)}-n[/mm]
>
> Die rechte Seite von (*) ist auf U holomorph. Damit hat
> [mm]\bruch{z\cdot{}f'(z)}{f(z)}[/mm] eine holomorphe Fortsetzung auf
> U.
genau das schwebte mir vor 
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 07:23 Di 08.07.2014 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Wo ist der Fehler?
Sorry, da hatte ich mich verguckt...
LG Felix
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