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Hallo, habe eine Frage.
Wie kann man Singularitäten besonders praktisch finden, ausser über die Laurentreihe zu gehen?`
Gibts da verschiedene Verfahren?
Hänge z.B. bei dieser Aufgabe fest.
Singularität von
[mm] f(z)=\frac{z}{e^z+e^{-z}}
[/mm]
Habe das bereits in eine Laurentreihe versucht umzuwandeln:
[mm] f(z)=\frac{z}{ \summe_{i=0}^{\infty} \frac{z^n}{n!} + \summe_{i=0}^{\infty} \frac{1}{z^n * n!} }
[/mm]
ist ja alles irgendwie nix :( Deswegen die Frage, gibts da andere evntl. bessere Möglichkeiten?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:14 Mo 07.07.2008 | | Autor: | fred97 |
Bei
$ [mm] f(z)=\frac{z}{e^z+e^{-z}} [/mm] $
mußt Du zunächst die Nullstellen des Nenners suchen. Dies läuft auf die Lösungen der Gl.
[mm] e^{2z} [/mm] = -1
hinaus.
FRED
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Danke für deine Antwort fred,
Also die Singularität finden ist ja das kleinere übel,
das große Problem ist die Klassifizierung und da braucht man doch die Laurentreihe...
...mit Laurentreihe aber in obigem Beispiel praktisch unlösbar...oder bin ich verwirrt?!? ...
Deswegen die Frage nach besseren Methoden als der Laurentreihe, denn eine Laurentreihe im Nenner bringt ja nicht viel...oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:34 Mo 07.07.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo
> Also die Singularität finden ist ja das kleinere übel,
> das große Problem ist die Klassifizierung und da braucht
> man doch die Laurentreihe...
Nicht umbedingt... Wenn du eine wesentliche Singularitaet ausschliessen kannt, geht's normalerweise viel einfacher.
Dazu eine kleine Definition. Zu einer meromorphen Funktion $f$ (ungleich der Nullfunktion) sei [mm] $\nu_z(f)$ [/mm] die Nullstellenordnung von $f$ im Punkt $z$; hat $f$ dort einen Pol der Ordnung $n$, so sei [mm] $\nu_z(f) [/mm] = -n$. Hat $f$ in $z$ weder eine Null- noch eine Polstelle, so sei [mm] $\nu_z(f) [/mm] = 0$.
In dem Fall hast du [mm] $\nu_z(\frac{f}{g}) [/mm] = [mm] \nu_z(f) [/mm] - [mm] \nu_z(g)$.
[/mm]
Wenn du also einen Bruch von zwei holomorphe Funktionen hast, dann hat der Bruch (als meromorphe Funktion) keine wesentlichen Singularitaeten, und wenn du z.B. einen Punkt $z$ hast, dann subtrahierst du einfach die Nullstellenordnung vom Nenner mit der vom Zaehler, und wenn das Ergebnis positiv ist, ist dies die Ordnung des Pols an der Stelle, und falls es nicht positiv ist, dann hat der Bruch dort keinen Pol.
Beispiel: [mm] $\frac{x (x - 1)}{(x - 1)^2 (x - 2)^2}$. [/mm] Diese Funktion hat einen einfachen Pol bei $x = 1$ und einen zweifachen Pol bei $x = 2$, und eine einfache Nullstelle bei $x = 0$. Ansonsten hat sie weder Null- noch Polstellen.
Genauer: es gilt [mm] $\nu_1( [/mm] x(x-1) ) = 1$, [mm] $\nu_0( [/mm] x(x-1) ) = 1$ und [mm] $\nu_z( [/mm] x(x-1) ) = 0$ fuer alle $z [mm] \neq [/mm] 0, 1$. Und es gilt [mm] $\nu_1( [/mm] (x - [mm] 1)^2 [/mm] (x - [mm] 2)^2 [/mm] ) = 2$ und [mm] $\nu_2( [/mm] (x - [mm] 1)^2 [/mm] (x - [mm] 2)^2 [/mm] ) = 2$ und [mm] $\nu_z( [/mm] (x - [mm] 1)^2 [/mm] (x - [mm] 2)^2 [/mm] ) = 0$ fuer alle $z [mm] \neq [/mm] 1, 2$.
Damit ist [mm] $\nu_0( \frac{x (x - 1)}{(x - 1)^2 (x - 2)^2} [/mm] ) = 1$, [mm] $\nu_1(\frac{x (x - 1)}{(x - 1)^2 (x - 2)^2}) [/mm] = -1$ und [mm] $\nu_2( \frac{x (x - 1)}{(x - 1)^2 (x - 2)^2} [/mm] ) = -2$.
> ...mit Laurentreihe aber in obigem Beispiel praktisch
> unlösbar...oder bin ich verwirrt?!? ...
Sagen wir so: es ist sehr umstaendlich und unpraktisch. Und in diesem Fall eher aussichtslos.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:26 Mo 07.07.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo
> [mm]f(z)=\frac{z}{e^z+e^{-z}}[/mm]
>
> mußt Du zunächst die Nullstellen des Nenners suchen. Dies
> läuft auf die Lösungen der Gl.
>
> [mm]e^{2z}[/mm] = -1
Alternativ kann man auch gleich die Identitaet [mm] $\cos [/mm] z = [mm] \frac{e^{i z} + e^{-i z}}{2}$ [/mm] verwenden und $z$ durch $-i z$ ersetzen. Kommt aber auf's gleiche hinaus :)
LG Felix
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