Singularität klassifizieren < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:14 Mi 08.07.2015 | | Autor: | Calculu |
| Aufgabe | Klassifiziere die Singularität der folgenden Funktion:
[mm] f(z)=exp(sin(\bruch{1}{z})) [/mm] |
Hallo,
ich weiß nicht genau wie ich diese Aufgabe lösen soll.
Die Funktion hat eine Singularität bei [mm] z_{0}=0.
[/mm]
Wenn ich nun den Grenzwert bilde: [mm] \limes_{z\rightarrow 0} [/mm] f(z) habe ich ein Problem, da meiner Meinung nach der GW für sin(1/z) schon nicht existiert.
Kann ich dann die Grenzwertbetrachtung zur Klassifizierung der Singularitäten nicht benutzen und muss über die Laurentreihe gehen oder wie mache ich das?
Über einen Tipp würde ich mich sehr freuen.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:27 Mi 08.07.2015 | | Autor: | fred97 |
> Klassifiziere die Singularität der folgenden Funktion:
> [mm]f(z)=exp(sin(\bruch{1}{z}))[/mm]
>
> Hallo,
>
> ich weiß nicht genau wie ich diese Aufgabe lösen soll.
> Die Funktion hat eine Singularität bei [mm]z_{0}=0.[/mm]
> Wenn ich nun den Grenzwert bilde: [mm]\limes_{z\rightarrow 0}[/mm]
> f(z) habe ich ein Problem, da meiner Meinung nach der GW
> für sin(1/z) schon nicht existiert.
> Kann ich dann die Grenzwertbetrachtung zur Klassifizierung
> der Singularitäten nicht benutzen und muss über die
> Laurentreihe gehen oder wie mache ich das?
> Über einen Tipp würde ich mich sehr freuen.
Sei g (z):=exp (sin (z)). Dann ist g eine ganze Funktion und kein Polynom.
In der Potenzreihenentwicklung von g um 0 sind also unendlich viele Koeffizienten ungleich Null. Was bedeutet dies fuer die Laurententwicklung von f um 0 ?
Beachte: f (z)=g (1/z)
Fred
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:53 Mi 08.07.2015 | | Autor: | Calculu |
> > Klassifiziere die Singularität der folgenden Funktion:
> > [mm]f(z)=exp(sin(\bruch{1}{z}))[/mm]
> >
> > Hallo,
> >
> > ich weiß nicht genau wie ich diese Aufgabe lösen soll.
> > Die Funktion hat eine Singularität bei [mm]z_{0}=0.[/mm]
> > Wenn ich nun den Grenzwert bilde: [mm]\limes_{z\rightarrow 0}[/mm]
> > f(z) habe ich ein Problem, da meiner Meinung nach der GW
> > für sin(1/z) schon nicht existiert.
> > Kann ich dann die Grenzwertbetrachtung zur Klassifizierung
> > der Singularitäten nicht benutzen und muss über die
> > Laurentreihe gehen oder wie mache ich das?
> > Über einen Tipp würde ich mich sehr freuen.
>
>
> Sei g (z):=exp (sin (z)). Dann ist g eine ganze Funktion
> und kein Polynom.
>
> In der Potenzreihenentwicklung von g um 0 sind also
> unendlich viele Koeffizienten ungleich Null. Was bedeutet
> dies fuer die Laurententwicklung von f um 0 ?
Das bedeutet, dass die Laurentreihe von f um 0, unendlich viele Koeffizienten ungleich Null hat und somit eine wesentliche Singularität vorliegt. Stimmt das?
> Beachte: f (z)=g (1/z)
>
> Fred
>
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:01 Mi 08.07.2015 | | Autor: | fred97 |
> > > Klassifiziere die Singularität der folgenden Funktion:
> > > [mm]f(z)=exp(sin(\bruch{1}{z}))[/mm]
> > >
> > > Hallo,
> > >
> > > ich weiß nicht genau wie ich diese Aufgabe lösen soll.
> > > Die Funktion hat eine Singularität bei [mm]z_{0}=0.[/mm]
> > > Wenn ich nun den Grenzwert bilde:
> [mm]\limes_{z\rightarrow 0}[/mm]
> > > f(z) habe ich ein Problem, da meiner Meinung nach der GW
> > > für sin(1/z) schon nicht existiert.
> > > Kann ich dann die Grenzwertbetrachtung zur Klassifizierung
> > > der Singularitäten nicht benutzen und muss über die
> > > Laurentreihe gehen oder wie mache ich das?
> > > Über einen Tipp würde ich mich sehr freuen.
> >
> >
> > Sei g (z):=exp (sin (z)). Dann ist g eine ganze Funktion
> > und kein Polynom.
> >
> > In der Potenzreihenentwicklung von g um 0 sind also
> > unendlich viele Koeffizienten ungleich Null. Was bedeutet
> > dies fuer die Laurententwicklung von f um 0 ?
>
> Das bedeutet, dass die Laurentreihe von f um 0, unendlich
> viele Koeffizienten ungleich Null hat
Genauer: der Hauptteil der Laurentreihe von f um 0 hat unendlich viele Koeffizienten ungleich Null.
^ und somit eine
> wesentliche Singularität vorliegt. Stimmt das?
Ja
Fred
> > Beachte: f (z)=g (1/z)
> >
> > Fred
> >
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:13 Mi 08.07.2015 | | Autor: | Calculu |
Alles klar 
Vielen Dank für deine Hilfe!
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:53 Mi 08.07.2015 | | Autor: | Calculu |
> > > > Klassifiziere die Singularität der folgenden Funktion:
> > > > [mm]f(z)=exp(sin(\bruch{1}{z}))[/mm]
> > > >
> > > > Hallo,
> > > >
> > > > ich weiß nicht genau wie ich diese Aufgabe lösen soll.
> > > > Die Funktion hat eine Singularität bei [mm]z_{0}=0.[/mm]
> > > > Wenn ich nun den Grenzwert bilde:
> > [mm]\limes_{z\rightarrow 0}[/mm]
> > > > f(z) habe ich ein Problem, da meiner Meinung nach der GW
> > > > für sin(1/z) schon nicht existiert.
> > > > Kann ich dann die Grenzwertbetrachtung zur Klassifizierung
> > > > der Singularitäten nicht benutzen und muss über die
> > > > Laurentreihe gehen oder wie mache ich das?
> > > > Über einen Tipp würde ich mich sehr freuen.
> > >
> > >
> > > Sei g (z):=exp (sin (z)). Dann ist g eine ganze Funktion
> > > und kein Polynom.
> > >
> > > In der Potenzreihenentwicklung von g um 0 sind also
> > > unendlich viele Koeffizienten ungleich Null. Was bedeutet
> > > dies fuer die Laurententwicklung von f um 0 ?
> >
> > Das bedeutet, dass die Laurentreihe von f um 0, unendlich
> > viele Koeffizienten ungleich Null hat
>
> Genauer: der Hauptteil der Laurentreihe von f um 0 hat
> unendlich viele Koeffizienten ungleich Null.
>
> ^ und somit eine
> > wesentliche Singularität vorliegt. Stimmt das?
>
> Ja
>
> Fred
>
>
>
> > > Beachte: f (z)=g (1/z)
> > >
> > > Fred
> > >
> >
>
Kann ich auch so argumentieren:
f besitzt eine Singularität in [mm] z_{0} [/mm] = 0.
Betrachte die Folgen [mm] a_{n}=\bruch{1}{2*\pi*n} [/mm] und [mm] b_{n}=\bruch{1}{2*\pi*n + \bruch{\pi}{2}}. [/mm] Beide konvergieren gegeb Null für [mm] n\to \infty, [/mm] allerdings gilt: [mm] f(\bruch{1}{2*\pi*n})=1 [/mm] und [mm] f(\bruch{1}{2*\pi*n + \bruch{\pi}{2}}) [/mm] = e. Also liegt bei [mm] z_{0}=0 [/mm] eine wesentliche Singularität vor.
Eine weitere Funktion die ich untersuchen soll lautet:
[mm] f(z)=\bruch{1}{z*(e^{z}-1)}
[/mm]
Auch hier liegt eine Singularität bei [mm] z_{0}=0 [/mm] vor. Es gilt: [mm] \limes_{z\rightarrow 0}\bruch{1}{z*(e^{z}-1)} [/mm] = [mm] \infty. [/mm] Also liegt ein Pol vor. Die Ordnung bestimmt man über die Nullstellen folgender Funktion: [mm] g(z)=\bruch{1}{f(z)}
[/mm]
g hat eine doppelte Nullstelle bei 0. Also ist die Polstelle von der Ordnung 2.
Stimmt das so?
Bei der dritten Funktion (f(z)= [mm] \bruch{z}{sin(z)}) [/mm] hab ich keine Ahnung. Eigentlich treten doch hier unendlich viele Singularitäten auf? Wie gehe ich da vor?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 02:20 Do 09.07.2015 | | Autor: | fred97 |
> > > > > Klassifiziere die Singularität der folgenden Funktion:
> > > > > [mm]f(z)=exp(sin(\bruch{1}{z}))[/mm]
> > > > >
> > > > > Hallo,
> > > > >
> > > > > ich weiß nicht genau wie ich diese Aufgabe lösen soll.
> > > > > Die Funktion hat eine Singularität bei
> [mm]z_{0}=0.[/mm]
> > > > > Wenn ich nun den Grenzwert bilde:
> > > [mm]\limes_{z\rightarrow 0}[/mm]
> > > > > f(z) habe ich ein Problem, da meiner Meinung nach der GW
> > > > > für sin(1/z) schon nicht existiert.
> > > > > Kann ich dann die Grenzwertbetrachtung zur Klassifizierung
> > > > > der Singularitäten nicht benutzen und muss über die
> > > > > Laurentreihe gehen oder wie mache ich das?
> > > > > Über einen Tipp würde ich mich sehr freuen.
> > > >
> > > >
> > > > Sei g (z):=exp (sin (z)). Dann ist g eine ganze Funktion
> > > > und kein Polynom.
> > > >
> > > > In der Potenzreihenentwicklung von g um 0 sind also
> > > > unendlich viele Koeffizienten ungleich Null. Was bedeutet
> > > > dies fuer die Laurententwicklung von f um 0 ?
> > >
> > > Das bedeutet, dass die Laurentreihe von f um 0, unendlich
> > > viele Koeffizienten ungleich Null hat
> >
> > Genauer: der Hauptteil der Laurentreihe von f um 0 hat
> > unendlich viele Koeffizienten ungleich Null.
> >
> > ^ und somit eine
> > > wesentliche Singularität vorliegt. Stimmt das?
> >
> > Ja
> >
> > Fred
> >
> >
> >
> > > > Beachte: f (z)=g (1/z)
> > > >
> > > > Fred
> > > >
> > >
> >
>
>
> Kann ich auch so argumentieren:
>
> f besitzt eine Singularität in [mm]z_{0}[/mm] = 0.
> Betrachte die Folgen [mm]a_{n}=\bruch{1}{2*\pi*n}[/mm] und
> [mm]b_{n}=\bruch{1}{2*\pi*n + \bruch{\pi}{2}}.[/mm] Beide
> konvergieren gegeb Null für [mm]n\to \infty,[/mm] allerdings gilt:
> [mm]f(\bruch{1}{2*\pi*n})=1[/mm] und [mm]f(\bruch{1}{2*\pi*n + \bruch{\pi}{2}})[/mm]
> = e. Also liegt bei [mm]z_{0}=0[/mm] eine wesentliche Singularität
> vor.
Na ja, ein wenig deutlicher musst Du schon werden. Mit den beiden Folgen kannst Du begruenden:
1. 0 ist keine hebbare Sing. von f,
2. 0 ist kein Pol von f.
Mach mal.
>
> Eine weitere Funktion die ich untersuchen soll lautet:
> [mm]f(z)=\bruch{1}{z*(e^{z}-1)}[/mm]
> Auch hier liegt eine Singularität bei [mm]z_{0}=0[/mm] vor. Es
> gilt: [mm]\limes_{z\rightarrow 0}\bruch{1}{z*(e^{z}-1)}[/mm] =
> [mm]\infty.[/mm] Also liegt ein Pol vor. Die Ordnung bestimmt man
> über die Nullstellen folgender Funktion:
> [mm]g(z)=\bruch{1}{f(z)}[/mm]
> g hat eine doppelte Nullstelle bei 0. Also ist die
> Polstelle von der Ordnung 2.
> Stimmt das so?
Ja, das ist O.K.
>
> Bei der dritten Funktion (f(z)= [mm]\bruch{z}{sin(z)})[/mm] hab ich
> keine Ahnung. Eigentlich treten doch hier unendlich viele
> Singularitäten auf? Wie gehe ich da vor
Mach Dir klar, dass f in 0 eine hebbare Sing. hat (Riemannscher Hebbarkeitssatz !)
In den weiteren Nullstellen des Sinus hat f jeweils einen Pol der Ordnung 1 (warum ?)
Fred
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:35 Fr 10.07.2015 | | Autor: | Calculu |
> > > > > > Klassifiziere die Singularität der folgenden Funktion:
> > > > > > [mm]f(z)=exp(sin(\bruch{1}{z}))[/mm]
> > > > > >
> > > > > > Hallo,
> > > > > >
> > > > > > ich weiß nicht genau wie ich diese Aufgabe lösen soll.
> > > > > > Die Funktion hat eine Singularität bei
> > [mm]z_{0}=0.[/mm]
> > > > > > Wenn ich nun den Grenzwert bilde:
> > > > [mm]\limes_{z\rightarrow 0}[/mm]
> > > > > > f(z) habe ich ein Problem, da meiner Meinung nach der GW
> > > > > > für sin(1/z) schon nicht existiert.
> > > > > > Kann ich dann die Grenzwertbetrachtung zur Klassifizierung
> > > > > > der Singularitäten nicht benutzen und muss über die
> > > > > > Laurentreihe gehen oder wie mache ich das?
> > > > > > Über einen Tipp würde ich mich sehr
> freuen.
> > > > >
> > > > >
> > > > > Sei g (z):=exp (sin (z)). Dann ist g eine ganze Funktion
> > > > > und kein Polynom.
> > > > >
> > > > > In der Potenzreihenentwicklung von g um 0 sind also
> > > > > unendlich viele Koeffizienten ungleich Null. Was bedeutet
> > > > > dies fuer die Laurententwicklung von f um 0 ?
> > > >
> > > > Das bedeutet, dass die Laurentreihe von f um 0, unendlich
> > > > viele Koeffizienten ungleich Null hat
> > >
> > > Genauer: der Hauptteil der Laurentreihe von f um 0 hat
> > > unendlich viele Koeffizienten ungleich Null.
> > >
> > > ^ und somit eine
> > > > wesentliche Singularität vorliegt. Stimmt das?
> > >
> > > Ja
> > >
> > > Fred
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> > >
> > > > > Beachte: f (z)=g (1/z)
> > > > >
> > > > > Fred
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> > > >
> > >
> >
> >
> > Kann ich auch so argumentieren:
> >
> > f besitzt eine Singularität in [mm]z_{0}[/mm] = 0.
> > Betrachte die Folgen [mm]a_{n}=\bruch{1}{2*\pi*n}[/mm] und
> > [mm]b_{n}=\bruch{1}{2*\pi*n + \bruch{\pi}{2}}.[/mm] Beide
> > konvergieren gegeb Null für [mm]n\to \infty,[/mm] allerdings gilt:
> > [mm]f(\bruch{1}{2*\pi*n})=1[/mm] und [mm]f(\bruch{1}{2*\pi*n + \bruch{\pi}{2}})[/mm]
> > = e. Also liegt bei [mm]z_{0}=0[/mm] eine wesentliche Singularität
> > vor.
>
> Na ja, ein wenig deutlicher musst Du schon werden. Mit den
> beiden Folgen kannst Du begruenden:
>
> 1. 0 ist keine hebbare Sing. von f,
Wäre 0 eine hebbare Singularität, müsste der GW für z [mm] \to [/mm] 0 eindeutig sein, also [mm] \limes_{z\rightarrow 0} [/mm] f(z) [mm] \in \IC
[/mm]
>
> 2. 0 ist kein Pol von f.
Wäre 0 ein Pol, müsste [mm] \limes_{z\rightarrow 0} [/mm] f(z) = [mm] \infty, [/mm] dies ist allerdings auch nicht der Fall, da immer ein endlicher GW angenommen wird.
>
> Mach mal.
>
>
> >
> > Eine weitere Funktion die ich untersuchen soll lautet:
> > [mm]f(z)=\bruch{1}{z*(e^{z}-1)}[/mm]
> > Auch hier liegt eine Singularität bei [mm]z_{0}=0[/mm] vor. Es
> > gilt: [mm]\limes_{z\rightarrow 0}\bruch{1}{z*(e^{z}-1)}[/mm] =
> > [mm]\infty.[/mm] Also liegt ein Pol vor. Die Ordnung bestimmt man
> > über die Nullstellen folgender Funktion:
> > [mm]g(z)=\bruch{1}{f(z)}[/mm]
> > g hat eine doppelte Nullstelle bei 0. Also ist die
> > Polstelle von der Ordnung 2.
> > Stimmt das so?
>
> Ja, das ist O.K.
>
>
> >
> > Bei der dritten Funktion (f(z)= [mm]\bruch{z}{sin(z)})[/mm] hab ich
> > keine Ahnung. Eigentlich treten doch hier unendlich viele
> > Singularitäten auf? Wie gehe ich da vor
>
> Mach Dir klar, dass f in 0 eine hebbare Sing. hat
> (Riemannscher Hebbarkeitssatz !)
Also was mit klar ist, ist die Tatsache, dass mit l'Hopital gilt: [mm] \limes_{z\rightarrow 0} [/mm] f(z) = 1
Um den riemannschen Hebbarkeitssatz anzuwenden, könnte ich eine offene Kugel mit Radius r um 0 legen und müsste dann zeigen, dass f dort beschränkt ist.
> In den weiteren Nullstellen des Sinus hat f jeweils einen
> Pol der Ordnung 1 (warum ?)
Also die weiteren Nullstellen liegen bei [mm] 2*\pi*n [/mm] mit n [mm] \in \IZ. [/mm] Für ein beliebiges aber festes n [mm] \in \IZ [/mm] gilt:
[mm] \limes_{z\rightarrow 2*\pi*n} [/mm] f(z) = [mm] \infty, [/mm] also liegen Polstellen vor. Betrachte ich mir dann die Nullstellen der Funktion g(z) := [mm] \brich{1}{f(z)} [/mm] so hat diese für beliebiges aber festes n [mm] \in \IZ [/mm] jeweils einfache Nullstelle, also liegen nur Pole erster Ordnung vor.
Passt das so?
>
> Fred
>
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:09 Fr 10.07.2015 | | Autor: | fred97 |
> > > > > > > Klassifiziere die Singularität der folgenden Funktion:
> > > > > > > [mm]f(z)=exp(sin(\bruch{1}{z}))[/mm]
> > > > > > >
> > > > > > > Hallo,
> > > > > > >
> > > > > > > ich weiß nicht genau wie ich diese Aufgabe lösen soll.
> > > > > > > Die Funktion hat eine Singularität bei
> > > [mm]z_{0}=0.[/mm]
> > > > > > > Wenn ich nun den Grenzwert bilde:
> > > > > [mm]\limes_{z\rightarrow 0}[/mm]
> > > > > > > f(z) habe ich ein Problem, da meiner Meinung nach der GW
> > > > > > > für sin(1/z) schon nicht existiert.
> > > > > > > Kann ich dann die Grenzwertbetrachtung zur Klassifizierung
> > > > > > > der Singularitäten nicht benutzen und muss über die
> > > > > > > Laurentreihe gehen oder wie mache ich das?
> > > > > > > Über einen Tipp würde ich mich sehr
> > freuen.
> > > > > >
> > > > > >
> > > > > > Sei g (z):=exp (sin (z)). Dann ist g eine ganze Funktion
> > > > > > und kein Polynom.
> > > > > >
> > > > > > In der Potenzreihenentwicklung von g um 0 sind also
> > > > > > unendlich viele Koeffizienten ungleich Null. Was bedeutet
> > > > > > dies fuer die Laurententwicklung von f um 0 ?
> > > > >
> > > > > Das bedeutet, dass die Laurentreihe von f um 0, unendlich
> > > > > viele Koeffizienten ungleich Null hat
> > > >
> > > > Genauer: der Hauptteil der Laurentreihe von f um 0 hat
> > > > unendlich viele Koeffizienten ungleich Null.
> > > >
> > > > ^ und somit eine
> > > > > wesentliche Singularität vorliegt. Stimmt das?
> > > >
> > > > Ja
> > > >
> > > > Fred
> > > >
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> > > >
> > > > > > Beachte: f (z)=g (1/z)
> > > > > >
> > > > > > Fred
> > > > > >
> > > > >
> > > >
> > >
> > >
> > > Kann ich auch so argumentieren:
> > >
> > > f besitzt eine Singularität in [mm]z_{0}[/mm] = 0.
> > > Betrachte die Folgen [mm]a_{n}=\bruch{1}{2*\pi*n}[/mm] und
> > > [mm]b_{n}=\bruch{1}{2*\pi*n + \bruch{\pi}{2}}.[/mm] Beide
> > > konvergieren gegeb Null für [mm]n\to \infty,[/mm] allerdings gilt:
> > > [mm]f(\bruch{1}{2*\pi*n})=1[/mm] und [mm]f(\bruch{1}{2*\pi*n + \bruch{\pi}{2}})[/mm]
> > > = e. Also liegt bei [mm]z_{0}=0[/mm] eine wesentliche Singularität
> > > vor.
> >
> > Na ja, ein wenig deutlicher musst Du schon werden. Mit den
> > beiden Folgen kannst Du begruenden:
> >
> > 1. 0 ist keine hebbare Sing. von f,
>
> Wäre 0 eine hebbare Singularität, müsste der GW für z
> [mm]\to[/mm] 0 eindeutig sein, also [mm]\limes_{z\rightarrow 0}[/mm] f(z) [mm]\in \IC[/mm]
>
> >
> > 2. 0 ist kein Pol von f.
> Wäre 0 ein Pol, müsste [mm]\limes_{z\rightarrow 0}[/mm] f(z) =
> [mm]\infty,[/mm] dies ist allerdings auch nicht der Fall, da immer
> ein endlicher GW angenommen wird.
>
> >
> > Mach mal.
> >
> >
> > >
> > > Eine weitere Funktion die ich untersuchen soll lautet:
> > > [mm]f(z)=\bruch{1}{z*(e^{z}-1)}[/mm]
> > > Auch hier liegt eine Singularität bei [mm]z_{0}=0[/mm] vor.
> Es
> > > gilt: [mm]\limes_{z\rightarrow 0}\bruch{1}{z*(e^{z}-1)}[/mm] =
> > > [mm]\infty.[/mm] Also liegt ein Pol vor. Die Ordnung bestimmt man
> > > über die Nullstellen folgender Funktion:
> > > [mm]g(z)=\bruch{1}{f(z)}[/mm]
> > > g hat eine doppelte Nullstelle bei 0. Also ist die
> > > Polstelle von der Ordnung 2.
> > > Stimmt das so?
> >
> > Ja, das ist O.K.
> >
> >
> > >
> > > Bei der dritten Funktion (f(z)= [mm]\bruch{z}{sin(z)})[/mm] hab ich
> > > keine Ahnung. Eigentlich treten doch hier unendlich viele
> > > Singularitäten auf? Wie gehe ich da vor
> >
> > Mach Dir klar, dass f in 0 eine hebbare Sing. hat
> > (Riemannscher Hebbarkeitssatz !)
>
> Also was mit klar ist, ist die Tatsache, dass mit l'Hopital
> gilt: [mm]\limes_{z\rightarrow 0}[/mm] f(z) = 1
> Um den riemannschen Hebbarkeitssatz anzuwenden, könnte
> ich eine offene Kugel mit Radius r um 0 legen und müsste
> dann zeigen, dass f dort beschränkt ist.
>
> > In den weiteren Nullstellen des Sinus hat f jeweils einen
> > Pol der Ordnung 1 (warum ?)
>
> Also die weiteren Nullstellen liegen bei [mm]2*\pi*n[/mm] mit n [mm]\in \IZ.[/mm]
> Für ein beliebiges aber festes n [mm]\in \IZ[/mm] gilt:
> [mm]\limes_{z\rightarrow 2*\pi*n}[/mm] f(z) = [mm]\infty,[/mm] also liegen
> Polstellen vor. Betrachte ich mir dann die Nullstellen der
> Funktion g(z) := [mm]\brich{1}{f(z)}[/mm] so hat diese für
> beliebiges aber festes n [mm]\in \IZ[/mm] jeweils einfache
> Nullstelle, also liegen nur Pole erster Ordnung vor.
>
> Passt das so?
Ja
FRED
>
> >
> > Fred
> >
> >
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:19 Fr 10.07.2015 | | Autor: | Calculu |
Vielen Dank für deine Hilfe!
Eine weitere Frage hab ich noch:
Wie sieht es bei f(z) = [mm] \bruch{1}{z^{2}*(z+1)}+cos(\bruch{1}{z}) [/mm] aus?
Meine Idee:
Setze [mm] g(z):=\bruch{1}{z^{2}*(z+1)} [/mm] und [mm] h(z):=cos(\bruch{1}{z})
[/mm]
g hat bei 0 einen Pol zweiter Ordnung und h eine wesentliche Singulartät. Ein Satz aus unserer VL besagt dann, dass 0 dann wesenliche Singularität von f=g+h ist.
Für die Singularität bei -1 bräuchte ich einen Tipp.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 07:24 Sa 11.07.2015 | | Autor: | fred97 |
> Vielen Dank für deine Hilfe!
>
> Eine weitere Frage hab ich noch:
>
> Wie sieht es bei f(z) =
> [mm]\bruch{1}{z^{2}*(z+1)}+cos(\bruch{1}{z})[/mm] aus?
> Meine Idee:
> Setze [mm]g(z):=\bruch{1}{z^{2}*(z+1)}[/mm] und
> [mm]h(z):=cos(\bruch{1}{z})[/mm]
> g hat bei 0 einen Pol zweiter Ordnung und h eine
> wesentliche Singulartät. Ein Satz aus unserer VL besagt
> dann, dass 0 dann wesenliche Singularität von f=g+h ist.
Ja, so ist das.
> Für die Singularität bei -1 bräuchte ich einen Tipp.
-1 ist ein Pol 1. Ordnung.
FRED
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| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 13:18 So 12.07.2015 | | Autor: | Calculu |
> > Vielen Dank für deine Hilfe!
> >
> > Eine weitere Frage hab ich noch:
> >
> > Wie sieht es bei f(z) =
> > [mm]\bruch{1}{z^{2}*(z+1)}+cos(\bruch{1}{z})[/mm] aus?
> > Meine Idee:
> > Setze [mm]g(z):=\bruch{1}{z^{2}*(z+1)}[/mm] und
> > [mm]h(z):=cos(\bruch{1}{z})[/mm]
> > g hat bei 0 einen Pol zweiter Ordnung und h eine
> > wesentliche Singulartät. Ein Satz aus unserer VL besagt
> > dann, dass 0 dann wesenliche Singularität von f=g+h ist.
>
>
> Ja, so ist das.
>
>
> > Für die Singularität bei -1 bräuchte ich einen Tipp.
>
> -1 ist ein Pol 1. Ordnung.
Jetzt ist es klar geworden.
[mm] \limes_{z\rightarrow -1} |\bruch{1}{z^{2}*(z+1)}+cos(\bruch{1}{z})| [/mm] = [mm] \infty [/mm] Und für m(z):= [mm] \bruch{1}{f(z)} [/mm] liegt bei -1 eine einfache Nullstelle vor, demnach Pol erster Ordnung.
Danke!
>
> FRED
> >
>
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:20 Di 14.07.2015 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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