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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:03 Do 30.12.2004 | | Autor: | Joergi |
Hy zusammen, und noch eine Aufgabe über die ich brüte, und nicht weiß, wie ich herangehen muss! Ich hoffe, dass man mir wenigstens hier weiterhelfen kann!?
Also, zu einer Matrix [mm]A \in \IR^{mxn}[/mm] mit [mm]m\ge n[/mm] seien die Singulärwerte [mm]\sigma_{1}\ge\sigma_{2}\ge...\ge\sigma_{n}\ge0[/mm] gegeben.
a.) Zeige, dass [mm]||A||_{2}=\sigma_{1}[/mm] und [mm]min_{||A||_{2}=1}||Ax||_{2}=\sigma_{n}[/mm] gilt.
b.) Zeige, dass wenn A vollen Rang hat, die Konditionszahl geschrieben werden kann als [mm]cond_{2}(A) = \bruch{\sigma_{1}}{\sigma_{n}}[/mm].
c.)Zeige, dass A der Grenzwert einer Folge von Matrizen mit vollem Rang ist. Führe den Grenzwertprozess bzgl. der Matrixnorm [mm]||.||_{2}[/mm] durch.
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Hallo ich hab leider noch keine Ahnung, wie ich hier mathematische Formeln einfügen kann, daher versuch ich´s erstmal soweit, wie es hier so geht.
Zu Teil b) kann ich nämlich ggf. weiterhelfen:
Es ist ja nach a) (leider unbewiesen) ||A|| = q1 und zudem ist
A = U*E*V(tr), da U, E und V(tr) invertierbar sind, ist A invertierbar und es ist A^-1 = V*E^-1*U(tr) (wobei (tr) "transponiert" heissen soll) und damit ||A^-1|| = 1/qn. Also ist cond(A) = ||A||*||A^-1|| = q1/qn...
Ich hoffe das das so halbwegs lesbar und verständlich ist.
MfG
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