Simultan Diag. im unendldim VR < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 13:28 So 04.06.2006 | | Autor: | cruemel |
| Aufgabe | Betrachten Sie die folgenden Endomorphismen des unendlich dimensionalen [mm] \IR [/mm] Vektorraums V:= [mm] \IR[x]:
[/mm]
[mm] \gamma:V\to [/mm] V, f [mm] \mapsto [/mm] xf'(x)
[mm] \delta:V \to [/mm] V, f [mm] \mapsto [/mm] f''(x)-xf'(x)
(i) Ist [mm] \gamma [/mm] diagonalisierbar?
(ii) Ist [mm] \delta [/mm] diagonalisierbar?
(iii) Sind [mm] \gamma [/mm] und [mm] \delta [/mm] simultan diagonalisierbar
Tipp:
In (ii) könnten die Hermite Polynome [mm] H_{n} [/mm] definiert durch [mm] H_{0}:= [/mm] 1, [mm] H_{1} [/mm] := x und [mm] H_{n+1} [/mm] := [mm] xH_{n} [/mm] - [mm] nH_{n-1} [/mm] nützlich sein. |
Hallo,
Obige Aufgabe wär klar, wenn es sich um endlichdimensionale VR handeln würde. Bei unendlichdimensionalen bin ich aber etwas überfragt.
Ich habe nun, wie im endlichdim. Fall, die Abbildungen für die Einheitsbasis betrachtet:
Zu (i)
[mm] A_{\gamma} [/mm] := [mm] \pmat{ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & ... \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & ... \\ 0 & 0 & 2 & 0 & 0 & ... \\ 0 & 0 & 0 & 3 & 0 & ... \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 4 & ... \\ . & . & . & . & . & ... \\ . & . & . & . & . & ... \\ . & . & . & . & . & ...}
[/mm]
Hier sieht man ja ganz klar, das die Eigenwerte 0,1,2,3... sind, und da alle unterschiedlich sind mit alg. Vielfachheit 1 ist die gemetrische Vielfachheit ebenfalls 1 und somit ist A diagonaliserbar.
Das dürfte ja so stimmen, oder?
Zu (ii)
Hier sieht die darstellende Matrix schon anders aus:
[mm] B_{\delta} [/mm] := [mm] \pmat{ 0 & 0 & 2 & 0 & 0 & ... \\ 0 & -1 & 0 & 6 & 0 & ... \\ 0 & 0 & -2 & 0 & 12 & ... \\ 0 & 0 & 0 & -3 & 0 & ... \\ 0 & 0 & 0 & 0 & -4 & ... \\ . & . & . & . & . & ... \\ . & . & . & . & . & ... \\ . & . & . & . & . & ...}
[/mm]
Die Eigenwerte sind meiner Meinung nach 0,-1,-2,-3, wie kann ich das korrekt mathematisch nachweisen?
Zu (iii)
Hier müsste ich zeigen, das die beiden Matrizen kommutativ sind, aber wie kann ich das bei unendlich dim. Matrizen???
Ich wäre sehr dankbar um Hilfe!
(Ich habe die Frage in keinem anderem Forum gestellt)
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Hallo cruemel,
zu ii): hier solltest du den tip ausnutzen, nämlich die 'matrix' bezüglich der hermite-polynome berechnen. dann kriegst du auch die eigenwerte ziemlich schnell...
VG
Matthias
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:44 So 04.06.2006 | | Autor: | cruemel |
Hallo Matthias,
Den Tip hab ich natürlich schon gelesen, konnte aber nichts damit anfangen. Wie kann ich die Matrix auf diesem Weg denn berechnen??
Grüße
Cruemel
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ganz einfach, bestimme die matrix anstatt bezüglich der standard-basis [mm] ($1,x,x^2,...$) [/mm] bezüglich der hermite-polynome, die ebenfalls eine basis des polynom-raums bilden....
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:21 So 04.06.2006 | | Autor: | cruemel |
Gut, ich komme also auf folgende Darstellende Matrix:
[mm] \pmat{ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & ... \\ 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & ... \\ 0 & 0 & -2 & 0 & 0 & ... \\ 0 & 0 & 0 & -3 & 0 & ... \\ 0 & 0 & 0 & 0 & -4 & ... \\ . & . & . & . & . & ... \\ . & . & . & . & . & ... \\ . & . & . & . & . & ...}
[/mm]
Aber ich habe natürlich nur die ersten fünf hermiteschen Polynome berechnen und in [mm] \delta [/mm] eingesetzt. Mir ist schon klar das [mm] \delta [/mm] diagonalisierbar ist, aber das ist doch kein mathematischer Beweis, schließlich hab ich das ja nur exemplarisch für ein paar berechnet und nicht für alle? Gibt es irgendeine Möglichkeit das allgemeiner zu bestimmen???
Grüße
Cruemel
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du müsstest das evtl. für allgemeines $n$ zeigen,... hast du mal bei wiki unter hermite-polynome nachgeschaut?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:20 Mi 07.06.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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