Signum einer Permutation < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:15 Fr 29.09.2006 | | Autor: | phrygian |
Hallo!
Im Buch "Einführung in die Algebra" von Fischer/Sacher steht auf S.43 der Beweis zur Aussage, daß die Abbildung, die jeder Permutation ihr Signum zuordnet, ein Gruppenhomomorphismus ist.
Im Beweis wird die Gleichung
[mm] [center]$\produkt_{i>j \atop \sigma(i)< \sigma(j)} \bruch{\pi(\sigma(i))- \pi(\sigma(j))}{\sigma(i)- \sigma(j)}=\produkt_{i \sigma(j)} \bruch{\pi(\sigma(i))- \pi(\sigma(j))}{\sigma(i)- \sigma(j)}$[/center]
[/mm]
(wobei [mm] \pi [/mm] und [mm] \sigma [/mm] Permutationen sind) benutzt, die für mich nicht so offensichtlich ist. Könnte jemand überprüfen, ob meine Herleitung dieser Gleichung stimmt?
Herleitung:
Aus
[mm] [center]$\produkt_{i>j \atop \sigma(i)< \sigma(j)} \bruch{\pi(\sigma(i))- \pi(\sigma(j))}{\sigma(i)- \sigma(j)}$[/center]
[/mm]
erhält man durch Umtaufen der Variablen $i$ auf $j$ und der Variablen $j$ auf $i$ den gleichwertigen Ausdruck
[mm] [center]$\produkt_{j>i \atop \sigma(j)< \sigma(i)} \bruch{\pi(\sigma(j))- \pi(\sigma(i))}{\sigma(j)- \sigma(i)}$.[/center]
[/mm]
Dies ist wiederum gleich
[mm] [center]$\produkt_{j>i \atop \sigma(j)< \sigma(i)} \bruch{(-1) \left[\pi(\sigma(i))- \pi(\sigma(j)) \right]}{(-1) \left[\sigma(i)- \sigma(j)\right]}$,[/center]
[/mm]
und durch Kürzen erhält man daraus schließlich
[mm] [center]$\produkt_{i \sigma(j)} \bruch{\pi(\sigma(i))- \pi(\sigma(j))}{\sigma(i)- \sigma(j)}$.[/center]
[/mm]
Stimmt's so?
Gruß, phrygian
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:05 Fr 29.09.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo phrygian!
> Im Buch "Einführung in die Algebra" von Fischer/Sacher
> steht auf S.43 der Beweis zur Aussage, daß die Abbildung,
> die jeder Permutation ihr Signum zuordnet, ein
> Gruppenhomomorphismus ist.
> Im Beweis wird die Gleichung
>
> [mm]\produkt_{i>j \atop \sigma(i)< \sigma(j)} \bruch{\pi(\sigma(i))- \pi(\sigma(j))}{\sigma(i)- \sigma(j)}=\produkt_{i \sigma(j)} \bruch{\pi(\sigma(i))- \pi(\sigma(j))}{\sigma(i)- \sigma(j)}[/mm]
>
> (wobei [mm]\pi[/mm] und [mm]\sigma[/mm] Permutationen sind) benutzt, die für
> mich nicht so offensichtlich ist. Könnte jemand überprüfen,
> ob meine Herleitung dieser Gleichung stimmt?
>
> Herleitung:
> Aus
>
> [mm]\produkt_{i>j \atop \sigma(i)< \sigma(j)} \bruch{\pi(\sigma(i))- \pi(\sigma(j))}{\sigma(i)- \sigma(j)}[/mm]
>
> erhält man durch Umtaufen der Variablen [mm]i[/mm] auf [mm]j[/mm] und der
> Variablen [mm]j[/mm] auf [mm]i[/mm] den gleichwertigen Ausdruck
>
> [mm]\produkt_{j>i \atop \sigma(j)< \sigma(i)} \bruch{\pi(\sigma(j))- \pi(\sigma(i))}{\sigma(j)- \sigma(i)}[/mm].
>
> Dies ist wiederum gleich
>
> [mm]\produkt_{j>i \atop \sigma(j)< \sigma(i)} \bruch{(-1) \left[\pi(\sigma(i))- \pi(\sigma(j)) \right]}{(-1) \left[\sigma(i)- \sigma(j)\right]}[/mm],
>
> und durch Kürzen erhält man daraus schließlich
>
> [mm]\produkt_{i \sigma(j)} \bruch{\pi(\sigma(i))- \pi(\sigma(j))}{\sigma(i)- \sigma(j)}[/mm].
>
> Stimmt's so?
Jep 
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:17 Fr 29.09.2006 | | Autor: | phrygian |
Hallo Felix!
Vielen Dank für Deine Antwort!
Gruß, phrygian
P.S.: Ich hoffe, Du hast Dich mittlerweile von Deiner Erkältung erholt!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:35 Fr 29.09.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo phrygian!
> P.S.: Ich hoffe, Du hast Dich mittlerweile von Deiner
> Erkältung erholt!
Noch nicht ganz, aber der Taschentuchverbrauch ist schon ziemlich stark zurueckgegangen
LG Felix
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