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Forum "Lineare Algebra / Vektorrechnung" - Signum Permutation
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Signum Permutation: Übung
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:46 Mi 20.03.2013
Autor: Bonaqa

Aufgabe
Bestimmen Sie das Signum folgender Permutation


[mm] \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 4 & 5 & 2 & 1 & 3 \end{pmatrix} [/mm]

Hallo,

ich weiß dass das Signum -1 ist. nur jetzt frage ich mich ob es Zufall war, wie ich es berechnet habe oder ob das so stimmt.

Zyklenschreibweise wäre ja:

(14) (253)

und ich habe nun mehrere Ideen aber habe keine Ahnung ob die Richtig sind.

erste Idee.
(14) (25) (53) das ist 3 und [mm] (-1)^3 [/mm] = -1

zweite Idee.
(45)(52)(21)(13) das ist 4 aber habe im Internet gesehen [mm] (-1)^r^-^1, [/mm] was denn auch insgesamt [mm] (-1)^3 [/mm] = -1 wäre

oder sind beide falsch? :S


        
Bezug
Signum Permutation: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:15 Mi 20.03.2013
Autor: steppenhahn

Hallo,


> Bestimmen Sie das Signum folgender Permutation
>  
>
> [mm]\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 4 & 5 & 2 & 1 & 3 \end{pmatrix}[/mm]
>  
> Hallo,
>  
> ich weiß dass das Signum -1 ist. nur jetzt frage ich mich
> ob es Zufall war, wie ich es berechnet habe oder ob das so
> stimmt.
>  
> Zyklenschreibweise wäre ja:
>  
> (14) (253)


Das ist richtig.


> erste Idee.
>  (14) (25) (53) das ist 3 und [mm](-1)^3[/mm] = -1

Du möchtest deine Permutation als Komposition von Transpositionen schreiben. Das ist der richtige Ansatz. Denn es gilt:

Signum = (-1) hoch (Anzahl Transposition).

Nur einer deiner beiden Vorschläge kann richtig sein, denn das Signum einer Permutation ist eindeutig (entweder -1 oder +1).

Deine erste Darstellung stimmt, wenn du die Transpositionen von hinten nach vorn auswertest. Daher hast du 3 Transpositionen und das Signum ist (-1).

Du kannst dir allgemein merken, dass 3er-Zykel in 2 Transpositionen zerlegt werden können.


> zweite Idee.
>  (45)(52)(21)(13) das ist 4 aber habe im Internet gesehen
> [mm](-1)^r^-^1,[/mm] was denn auch insgesamt [mm](-1)^3[/mm] = -1 wäre


Nein, es stimmt weder deine Zerlegung noch diese Formel aus dem Internet.
Gemäß deiner Zerlegung würde die 3 -> 1 -> 2 -> 5 -> 4 auf die 4 abgebildet werden. Das ist falsch.


Viele Grüße,
Stefan

Bezug
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