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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:46 Mi 09.01.2013 | | Autor: | tanlee |
| Aufgabe | In einem Quadrat der Maße 4x4 liegen 15 Steine, die von 1 bis 15 durchnumeriert
sind. In der gegebenen Position sind alle Steine mit Ausnahme der 14 und der 15
in aufsteigender Reihenfolge angeordnet, das letzte Feld bleibt frei. Ist es möglich,
durch eine Folge von Zügen (bei denen ein Stein horizontal oder vertikal innerhalb
des 44 Quadrates direkt auf ein benachbartes freies Feld verschoben werden darf)
in die richtige Reihenfolge zu bringen |
Ich habe es mit der Parität bewiesen, aber wie mache ich das jetzt mit dem Signum?
Vielen Dank schonmal für eure Hilfe!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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Hallo tanlee, ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> In einem Quadrat der Maße 4x4 liegen 15 Steine, die von 1
> bis 15 durchnumeriert
> sind. In der gegebenen Position sind alle Steine mit
> Ausnahme der 14 und der 15
> in aufsteigender Reihenfolge angeordnet, das letzte Feld
> bleibt frei. Ist es möglich,
> durch eine Folge von Zügen (bei denen ein Stein
> horizontal oder vertikal innerhalb
> des 44 Quadrates direkt auf ein benachbartes freies Feld
> verschoben werden darf)
> in die richtige Reihenfolge zu bringen
> Ich habe es mit der Parität bewiesen, aber wie mache ich
> das jetzt mit dem Signum?
Die Frage resultiert offenbar aus einer Aufgabenstellung, die Du nicht vollständig wiedergegeben hast. Wenn Du (was auch immer) über die Parität bewiesen hast, wozu brauchst Du dann noch einen zweiten Beweis?
Über das Signum geht es übrigens einfach. Die Plätze 1 bis 15 sind von den Zahlen 1 bis 15 in einer bestimmten Anordnung belegt. Diese stellt eine Permutation der "natürlichen" Anordnung dar. Wenn sie daraus durch eine gerade Anzahl von Vertauschungen hervorgeht, ist das Signum positiv, sonst negativ.
Die Frage ist hier aber vor allem: was für ein Signum hat die Permutationsänderung, die durch eine erlaubte Verschiebung vorgenommen wird? Und ist das für einen Beweis auch hilfreich?
Tipp: fang mal mit einem [mm] $2\times{2}$-Brett [/mm] an, auf dem Platz 4 frei ist. Welche der möglichen Anfangsverteilungen von 1,2,3 sind nun auf die Urordnung zurückzuführen? (Geht auch umgekehrt: welche Permutationen sind von der Urordnung aus zu erreichen? Warum?)
Grüße
reverend
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