Signatur einer Matrizdifferenz < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Beweisen Sie:
Sei $A [mm] \in \mR^{m\times n}$ [/mm] und $B [mm] \in \mR^{k\times n}$. [/mm] Dann hat [mm] $A^{\top}A-B^{\top}B$ [/mm] höchstens $m$ positive und höchstens $k$ negative Eigenwerte. |
Hallo,
dies ist meine erst Frage in diesem Forum, jedoch habe ich in der Vergangenheit hier schon einige nützliche Sachen erfahren und hoffe, ihr könnt mir auch diesmal helfen. Ich möchte den obigen Satz beweisen und habe hierfür auch schon im ![[]](/images/popup.gif) Matheplanet nachgefragt. Da mich der Beweis jetzt aber schon sehr lange beschäftigt, suche ich auch hier nach Hilfe.
Dort wurde mir vorgeschlagen, folgende Gleichung zu untersuchen:
[mm] \begin{pmatrix}I & B^{\top}\\0&I\end{pmatrix}\begin{pmatrix}A^{\top}A-B^{\top}B & 0\\0&I\end{pmatrix}\begin{pmatrix}I & 0\\B&I\end{pmatrix} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix}A^{\top}A & B^{\top}\\B&I\end{pmatrix}
[/mm]
Ich habe festgestellt, dass
[mm] \begin{pmatrix}I & B^{\top}\\0&I\end{pmatrix} [/mm] und [mm] \begin{pmatrix}I & 0\\B&I\end{pmatrix}
[/mm]
jeweils die Signatur (k+n, 0) besitzen und daher
[mm] \begin{pmatrix}A^{\top}A-B^{\top}B & 0\\0&I\end{pmatrix} [/mm] und [mm] \begin{pmatrix}A^{\top}A & B^{\top}\\B&I\end{pmatrix}
[/mm]
beide die gleiche Signatur (x, y) besitzen müssen. Ich suche nun nach einer Abschätzung (x,y) [mm] \leq [/mm] (m+k, k). Hierfür sollte ich konsequenterweise die hintere Matrix benutzen, doch drehe ich mich dabei seit drei Tagen im Kreis. Ich bin daher für jede Hilfe sehr dankbar.
Grüße
Silverhand
(P.S.: Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt: Matheplanet )
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:20 Mo 08.08.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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