Signatur < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:49 Mo 06.09.2004 | | Autor: | regine |
Hallo,
eine Signatur ist ein Tripel (p(A), q(A), r(A)), wobei
p(A) = Anzahl der pos. Eigenwerte mit algebr. Vielfachheit
q(A) = Anzahl der neg. Eigenwerte mit algebr. Vielfachheit
r(A) = algebr. Vielfachheit des Eigenwertes 0 ist.
Dann weiß ich, daß für eine nxn-Matrix gilt: p(A)+q(A)+r(A)=n.
Schön und gut, aber wozu benötigt man dies in der Linearen Algebra?
Herzlichen Dank und viele Grüße,
Regine.
Ich habe diese Frage in keinem weiteren Forum gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:24 Mo 06.09.2004 | | Autor: | Julius |
Liebe Regine!
Du weißt vielleicht, dass es zu jeder symmetrischen Bilinearform eine (von einer gewählten Basis abhängige) Matrixdarstellung (Stichwort: Gramsche Matrix) gibt.
Man kann nun zeigen (Trägheitssatz von Sylvester), dass die von dir genannten Kenngrößen $(p,q,r)$ unabhängig von der gewählten Basis sind, also sozusagen invariant unter Basistransformationen sind.
Nun wollen wir das Ganze geometrisch interpretieren, und zwar in der einfachsten Form.
Zu jeder Bilinearform $s(v,w)$ gehört eine quadratische Form:
$q(v) = s(v,v)$,
und man kann spezielle Quadriken
[mm] $Q_c:= \{v \in V\, : \, q(v) = c\}$,
[/mm]
also Niveauflächen der quadratischen Form, betrachten.
Verschiedene Basen kann man dann als "Wahlen des Koordinatensystems" auffassen, und wenn man dann bezüglich eines beliebig gewählten Koordinatenystems die Kenngrößen $(p,q,r)$ bestimmt, kann man herausbekommen, welche Normalform die Quadrik besitzt (z.B. dass sie im [mm] $\IR^3$ [/mm] in geeigneten Koordinaten gerade ein Paraboloid oder ein einschaliges Hyperboloid, etc. ist).
Ich hoffe das reicht dir zunächst an (zugegebenermaßen rudimentärem) Background-Einblick. 
Liebe Grüße
Julius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:23 Mo 06.09.2004 | | Autor: | regine |
Hallo,
zuerst danke für die ausführlich Antwort! Das hat mich in den Zusammenhängen ein ganzes Stück weitergebracht.
Kopfzerbrechen bereitet mir aber auch der Trägheitssatz von Sylvester. Ich hatte aus einem Buch die simple Aussage mitgenommen, daß nach diesem Satz zumindest die Vorzeichen der Eigenwerte bei einer Transformation erhalten bleiben.
Aber Deine Aussage "invariant" würde dem ja widersprechen, oder?
Danke !!!
Viele Grüße,
Regine.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:27 Mo 06.09.2004 | | Autor: | regine |
Ha! Es hat *click* gemacht! Die Signatur zählt ja die Anzahl der positiven, negativen Eigenwerte und die Vielfachheit des Eigenwertes 0. Und der Trägheitssatz sagt ja nun aus, daß genau diese Anzahl der positiven und negativen Eigenwerte genau gleich bleibt, sprich: dass die Vorzeichen der Eigenwerte gleich bleiben!!!
Meine Güte! Ja, ich habe es!
Danke!!!
Viele Grüße,
Regine.
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