Sigma Algebra und Ergebnisraum < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:15 So 19.08.2012 | | Autor: | tanye |
| Aufgabe | | Als Beispiel betrachte man das klassische 6 aus 49 Lotto. 6 Kugeln von 1 bis 49 werden aus einer Urne (Ohne Zurücklegen) gezogen. |
Hey MR,
Wenn ich jetzt den W-Raum unter Berücksichtungung der Reihenfolge angeben möchte, sprich [mm] \Omega, \Sigma [/mm] und P. Dann hab ich hier irgendwie generell das Gefühl den Unterschied zwischen [mm] \Omega [/mm] und Sigma nicht recht verstanden zu haben ... Omega ist die Menge aller Ergebnisse also hier doch : [mm] [1:49]^{6} [/mm] und [mm] \Sigma [/mm] ist [mm] 2^{\Omega}, [/mm] die Menge aller möglichen Ereignisse (?) .
Der Unterschied ist mir irgendwie nicht wirklich klar, kann da jemand etwas aushelfen ?
vG tany3 :)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:21 So 19.08.2012 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Ja, also wenn du das wirklich unter der Berücksichtigung der Reihenfolge machen willst, dann ist [mm] \Omega [/mm] = [mm] \{1, ..., 49\}^6, [/mm] genau.
Die Sigmaalgebra hier könnte man als Potenzmenge davon nehmen, wie du schon gesagt hast. Das sind dann alle Ereignisse, denen du Wahrscheinlichkeiten zuordnen kannst. Und diese Ereignisse sind ja im Prinzip nur zusammengefasst Einzelergebnisse aus [mm] \Omega.
[/mm]
z.B. kannst du dann [mm] P(\{(1,4,3,5,6,10), (1,20,30,40,32,2)\}) [/mm] ausrechnen. Das Ding ist ja kein Ergebnis sondern ein Ereignis, das in [mm] 2^\Omega [/mm] liegt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:27 So 19.08.2012 | | Autor: | tanye |
Danke dir :)
Also nur noch einmal, dass ich das richtig verstanden habe. [mm] \Omega [/mm] gibt alle möglichen Ergebnisse des Zufallsexperiments an und in der [mm] \Sigma [/mm] -Algebra betrachte ich spezielle Ereignisse aus [mm] \Omega [/mm] denen ich wiederum Wahrscheinlichkeiten zuordnen kann und wenn ich die Potenzmenge als [mm] \Sigma [/mm] -Algebra betrachte sind dass natürlih alle möglichen Kombinationen von Ereignissen aus [mm] \Omega [/mm] also so etwas wie f: [mm] \Omega \mapsto [/mm] {0,1}.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:35 So 19.08.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> f: [mm]\Omega \mapsto[/mm] {0,1}.
solche Abbildungen sind sehr langweilig - sie nehmen für [mm] $\omega \in \Omega$
[/mm]
entweder den Wert [mm] $0\,$ [/mm] oder aber [mm] $1\,$ [/mm] an. Du meinst was anderes. 
Gruß,
Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:41 So 19.08.2012 | | Autor: | Teufel |
Kein Problem!
Ja, also in [mm] \Omega [/mm] sind im Prinzip alle Sachen, die aus dem Zufallsexperiment hervorspringen können. Diese 6-Tupel beim Lotto, die Zahlen 1 bis 6 beim Würfeln, Kopf oder Zahl beim Münzwurf.
Nun ist es so, dass man eigentlich nur Ereignissen eine Wahrscheinlichkeit zuordnet und keinen einzelnen Ergebnissen aus [mm] \Omega. [/mm] d.h. das Wahrscheinlichkeitsmaß P bildet eigentlich immer von [mm] \Sigma [/mm] aus nach [0,1] ab.
Aber da die Ergebnisse aus [mm] \Omega [/mm] auch als einelementige Mengen in [mm] \Sigma [/mm] liegen, ist das kein Problem. z.B. ist beim Würfeln eben auch [mm] \{3\}\in \Sigma. [/mm] Daher müsste man, wenn man exakt ist, auch [mm] P(\{3\})=\frac{1}{6} [/mm] schreiben, meistens werden die Mengenklammern aber bei einelementigen Ereignissen weggelassen.
Anmerkung: bei endlichen Mengen kann man als Sigmaalgebra stets einfach die Potenzmenge nehmen. Es gibt auch Wahrscheinlichkeitsräume, in denen [mm] \Omega [/mm] schon unendlich ist und in denen man nicht einfach [mm] 2^\Omega [/mm] als Sigmaalgebra nehmen könnte! Das lernst du aber erst irgendwann in Wahrscheinlichkeitstheorie, wenn du diesen Weg einschlagen solltest.
Deinen letzten Punkt mit dem f verstehe ich nicht ganz, aber vielleicht kannst du ja etwas mit meine Ausführungen anfangen, die das schon beantworten. :)
Nochmal kurz gesagt: [mm] \Omega [/mm] sind die kleinen Ergebnisse, [mm] \Sigma [/mm] sind Zusammenfassungen von den kleinen Ergebnissen zu "Bündeln" (Ereignissen), denen man dann Wahrscheinlichkeiten zuordnen kann.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:32 So 19.08.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
mach' Dir, wenn Dir die Unterschiede nicht so klar sind, das ganze erstmal an
einfacheren Beispielen klar. Beispielsweise nimm' einen Laplaceschen
Würfel mit [mm] $6\,$ [/mm] Zahlen, und schau' Dir sowas an wie "Wahrscheinlichkeit,
dass eine gerade Zahl geworfen wird". (Bzw. erstelle einen passenden
Ereignisraum und gebe den Ergebnisraum an - beim einmaligen Wurf!)
Gruß,
Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:38 So 19.08.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
ich weiß nicht, inwiefern nun Deine Frage hier komplett beantwortet worden
ist. Ein Element der Ergebnismenge eines Wahrscheinlichkeitsraums nennt
man Elementarereignis - oder Ergebnis. Die Ergebnismenge [mm] $\Omega$ [/mm] ist die Gesamtheit
aller Elementarereignisse, d.h. [mm] $\omega \in \Omega$ [/mm] bedeutet nichts
anderes, als dass [mm] $\omega$ [/mm] ein Elementarereignis ist.
Nun gibt es sowas wie die Ereignis- bzw. [mm] $\sigma$-Algebra. [/mm] Ein Element der
[mm] $\sigma$-Algebra [/mm] ist allerdings stets eine Teilmenge von [mm] $\Omega$ [/mm] - das liegt
schlicht daran, dass eine [mm] $\sigma$-Algebra [/mm] eine Teilmenge der Potenzmenge von [mm] $\Omega$ [/mm] ist.
Anders gesagt: Für [mm] $\omega \in \Omega$ [/mm] ist sicher das Elementarereignis
[mm] $\omega$ [/mm] gar kein Ereignis (Ereignisse sind die Elemente der [mm] $\sigma$- [/mm]
bzw. Ereignisalgebra) - das kann nicht gehen. Wenn man allerdings
[mm] $\omega \in \Omega$ [/mm] hat, dann kann man wenigstens nachgucken, ob
denn vielleicht [mm] $\{\omega\}$ [/mm] eine Ereignis ist.
Deswegen ist die Bezeichnung "Elementarereignis" auch nicht so pralle.
Denn es gibt kein Elementarereignis, welches ein Ereignis sein kann.
Und Euer Begriff "Ergebnis" ist da auch besser, er meint das gleiche wie
Elementarereignis, aber es ist irgendwie klar, was man damit meint und
man kommt gar nicht in Versuchung, nur wegen des Namens daran zu
denken, ob ein Elementarereignis auch ein Ereignis ist.
P.S. Wenn man sich ![[]](/images/popup.gif) hier (klick me!) durchklickt und
durchliest, wird das ganze klarer!
P.P.S.
Anhand des einfachen Würfelwurfs machen diese Definitionen ja auch Sinn.
Welche Zahlen kann man werfen? [mm] $1,2,3,4,5,6\,.$ [/mm] Wir können also etwa
[mm] $$\Omega:=\{1,\,2,\,3,\,4,\,5,\,6\}\,.$$
[/mm]
Und wenn ich nun
irgendwie rausfinden will, nehmen wir mal, wir können das irgendwie, wie
wahrscheinlich es ist, in einem einfachen Wurf KEINE 6 zu werfen:
Dann sollte ich doch irgendwie die Wahrscheinlichkeit von
[mm] $\{1,2,3,4,5,6\} \setminus \{6\}$ [/mm] berechnen können.
Und die Wahrscheinlichkeit, eine [mm] $6\,$ [/mm] zu werfen, würden wir deswegen
etwa [mm] $P(\{6\})$ [/mm] bezeichnen. Dann bezeichnet [mm] $P(\{1,\,2,\,3,\,4,\,5\})=P(\Omega \setminus \{6\})$ [/mm] die Wahrscheinlichkeit,
KEINE [mm] $6\,$ [/mm] zu werfen.
Die Idee ist also irgendwie naheliegend und doch effektiv: Mittels
mengentheoretischer Betrachtungen will man da etwas "hochziehen".
Und dann ist auch klar, warum man schon $A [mm] \in \sigma \Rightarrow A^c \in \sigma$ [/mm] bei der Ereignisalgebradefinition fordert:
Wenn man keine Möglichkeit für den Wert [mm] $P(\{1,\,2,\,3,\,4,\,5\})$ [/mm] hat,
anders gesagt [mm] $\{1,\,2,\,3,\,4,\,5\}$ [/mm] gehört nicht zur Definitionsmenge
von [mm] $P\,,$ [/mm] wie will man dann einen Bezug zwischen [mm] $P(\{6\})$ [/mm] und
[mm] $P(\{1,\,2,\,3,\,4,\,5\})$ [/mm] hinschreiben/ausnutzen dürfen?
Das entspräche nicht den Erwartungen, die man an eine Wahrscheinlichkeitsfunktion
stellt. Man will die Wahrscheinlichkeit eines "Ereignis" [mm] $E\,$ [/mm] ($E [mm] \subseteq \Omega$) [/mm] in Bezug zu seinem
"Gegenereignis" [mm] (\Omega \setminus [/mm] E) stellen dürfen. Dafür müssen aber "Ereignis" und "Gegenereignis" beide im Definitionsbereich der Ereignisalgebra liegen.
Und das Ereignis in Anführungszeichen meint hier wirklich nur eine
Teilmenge von [mm] $\Omega\,.$ [/mm] (Also ein Element der Potenzmenge von Omega).
D.h. "Ereignis" ist nicht zwingend ein Ereignis,
denn ein Ereignis zu sein, bedeutet [mm] $\in \sigma$ [/mm] zu sein. Was ich so grob
anzudeuten versuche, ist die Motivation, warum man etwa bei der
[mm] $\sigma$-Algebra [/mm] $A [mm] \in \sigma \Rightarrow A^c=\Omega \setminus [/mm] A [mm] \in \sigma$ [/mm] fordert!
Also anders gesagt: Hat man ein "Ereignis", welches sogar ein Ereignis ist,
dann ist das zu dem "Ereignis" gehörige "Gegenereignis" selbst auch ein
Ereignis.
Dieser komisch ausgeartete Satz ist formal das folgende:
Wenn $E [mm] \subseteq \Omega$ [/mm] ist, dann muss ja nicht $E [mm] \in \sigma$ [/mm]
gelten. [mm] $E^c:=\Omega \setminus [/mm] E$ kann ich natürlich stets bilden.
Was bringt uns das, wenn wir keine Ahnung haben, ob [mm] $E\,$ [/mm] (oder
[mm] $E^c$) [/mm] auch in [mm] $\sigma$ [/mm] liegen, wenn wir [mm] $P(E)\,$ [/mm] oder [mm] $P(E^c)$
[/mm]
"brauchen?" Nichts!
(Ist Dir das klar? Ich meine, wenn Du $f: X [mm] \to [/mm] Y$ hast, und dann
gefragt ist, was [mm] $f(t_0)$ [/mm] ist - Du aber nichtmal prüfen kannst, ob
[mm] $t_0 \in X\,,$ [/mm] dann weißt Du ja noch nichtmal, ob [mm] $f(t_0)$ [/mm] existiert
oder eben nicht. Wobei man hier eine Bemerkung machen muss:
In vielen Lehrbüchern steht, dass man [mm] $f(t_0)$ [/mm] nur hinschreiben
darf und wird, wenn [mm] $t_0$ [/mm] zum Definitionsbereich von [mm] $f\,$ [/mm] gehöre.
Wir gehen hier davon aus, dass aus der Notation [mm] $f(t_0)$ [/mm] dies noch
NICHT hervorgehen soll!
Bsp.: Ich kann Dich fragen, was für $g: [mm] \IR \to \IR$ [/mm] mit [mm] $g(x):=x^2$ [/mm] denn
[mm] $g(i)\,$ [/mm] sei, wobei [mm] $i\,$ [/mm] die imaginäre Einheit $i [mm] \in \IC \setminus \IR$ [/mm] sei.
Als Antwort wäre dann zu geben: [mm] $g(i)\,$ [/mm] existiert nicht, weil
$i [mm] \notin \IR$ [/mm] nicht zum Definitionsbereich von [mm] $g\,$ [/mm] gehört!
Die Antwort [mm] $g(i)=i^2=-1$ [/mm] ist übrigens i.a. falsch!)
Wenn ich aber $E [mm] \subseteq \Omega$ [/mm] habe und WEIß, dass $E [mm] \in \sigma$ [/mm] liegt,
dann weiß ich, dass es einen Wert [mm] $P(E)\,$ [/mm] gibt. Denn [mm] $\sigma$ [/mm] ist
der Definitionsbereich von [mm] $P\,.$ [/mm] Dann weiß ich aber auch, dass
es einen Wert [mm] $P(E^c)$ [/mm] gibt: Denn [mm] $\sigma$ [/mm] hat ja die Eigenschaft,
dass $E [mm] \in \sigma \Rightarrow E^c \in \sigma$ [/mm] gilt. (Und man wird
hier sogar [mm] $P(E)+P(E^c)=1\,$ [/mm] ausnutzen können - das ist das, was
man eigentlich auch "gerne hat bzw. hätte".)
Gruß,
Marcel
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