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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:14 Mo 03.12.2007 | | Autor: | barsch |
| Aufgabe | Sei [mm] \Omega=\IN.
[/mm]
Handelt es sich bei folgenden Mengensystem [mm] \mathcal{A} [/mm] um eine [mm] \sigma-Algebra?
[/mm]
[mm] \mathcal{A}=\{\{1,2,...,n\}:n\in\IN_0\}\cup\{\{n,n+1,...\}:n\in\IN\} [/mm] |
Hi,
erst einmal ist es ja nicht schlecht, sich bewusst zu machen, was eine [mm] \sigma-Algebra [/mm] kennzeichnet:
[mm] \mathcal{A} [/mm] ist [mm] \sigma-Algebra\gdw
[/mm]
1. [mm] \Omega\in\mathcal{A}
[/mm]
2. [mm] A\in\mathcal{A}\Rightarrow\overline{A}\in\mathcal{A}, [/mm] wobei [mm] \overline{A} [/mm] Komplement von A.
3. [mm] j\in\IN: A_j\in\mathcal{A}\Rightarrow\cup_{j\in\IN}A_j\in\mathcal{A}
[/mm]
Jetzt weiß ich aber schon nicht, ob [mm] \IN=\Omega\in\mathcal{A}.
[/mm]
Ich würde behaupten, [mm] \IN=\Omega\in\mathcal{A} [/mm] wegen [mm] \{\{n,n+1,...\}:n\in\IN\}
[/mm]
Aber was ist dann mit 2. und 3.?
Vielleicht kann mir mal jemand auf die Sprünge helfen.
MfG barsch
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:05 Mo 03.12.2007 | | Autor: | andreas |
hi
> Sei [mm]\Omega=\IN.[/mm]
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> Handelt es sich bei folgenden Mengensystem [mm]\mathcal{A}[/mm] um
> eine [mm]\sigma-Algebra?[/mm]
>
> [mm]\mathcal{A}=\{\{1,2,...,n\}:n\in\IN_0\}\cup\{\{n,n+1,...\}:n\in\IN\}[/mm]
> Hi,
>
> erst einmal ist es ja nicht schlecht, sich bewusst zu
> machen, was eine [mm]\sigma-Algebra[/mm] kennzeichnet:
>
>
> [mm]\mathcal{A}[/mm] ist [mm]\sigma-Algebra\gdw[/mm]
>
> 1. [mm]\Omega\in\mathcal{A}[/mm]
> 2. [mm]A\in\mathcal{A}\Rightarrow\overline{A}\in\mathcal{A},[/mm]
> wobei [mm]\overline{A}[/mm] Komplement von A.
> 3. [mm]j\in\IN: A_j\in\mathcal{A}\Rightarrow\cup_{j\in\IN}A_j\in\mathcal{A}[/mm]
>
> Jetzt weiß ich aber schon nicht, ob
> [mm]\IN=\Omega\in\mathcal{A}.[/mm]
>
> Ich würde behaupten, [mm]\IN=\Omega\in\mathcal{A}[/mm] wegen
> [mm]\{\{n,n+1,...\}:n\in\IN\}[/mm]
ja, das stimmt im prinzip schon, muss man aber natürlich etwas genauer aufschreiben (das heißt wähle hier $n = ...$).
> Aber was ist dann mit 2. und 3.?
2. ist auch erfüllt, wie man sich leicht klarmacht. überleg dir mal bei 3., ob die vereinigung von zwei mengen aus [mm] $\mathcal{A}$ [/mm] auch wieder in [mm] $\mathcal{A}$ [/mm] liegt. wähle zum beispiel konkret ein $A [mm] \in \{\{1,2,...,n\}:n\in\IN_0\} \subseteq \mathcal{A}$ [/mm] und ein $B [mm] \in \{\{n,n+1,...\}:n\in\IN\} \subseteq \mathcal{A}$. [/mm] gilt dann stets $A [mm] \cup [/mm] B [mm] \in \mathcal{A}$ [/mm] (was wären hier geeignete [verschiedene] $n$'s für $A$ und $B$ - welches $n$ sollte größer sein)?
grüße
andreas
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