Sigma-endliche Maßräume < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Guten Abend und vielen Dank für eure Mühe im voraus!
Ich habe folgendes Problem:
Die Definitionen von einem endlichen Maßen und einem sigma-endlichen Maß sind mir bekannt.
Ist µ ein Maß und gilt [mm] µ(\omega)< \infty [/mm] so spricht man von einem endlichen Maß;
Ex. eine Folge [mm] (A_n)n\in\IN, [/mm] deren Glieder alle in der zugehörigen Sigma-Algebra [mm] \mathcal{A} [/mm] liegen und gilt zusätzlich, dass [mm] A_n [/mm] aufsteigend stetig gegen [mm] \omega [/mm] ist und [mm] µ(A_n)<\infty [/mm] so heißt das Maß µ sigma-endlich.
So viel zunächst zu den Definitionen.
Jetzt gilt offenbar, dass jedes endliche Maß ein sigma-endliches Maß ist.
Dies scheint mir auch klar zu sein, denn wenn [mm] µ(\omega)<\infty [/mm] sein soll und es eine Folge [mm] A_n [/mm] gibt die aufsteigend stetig gegen [mm] \omega [/mm] ist, dann muss nach logischer Konsequenz ja auch [mm] µ(A_n)<\infty [/mm] sein.
Warum aber gilt nicht die Umkehrung, dass nicht jedes sigma-endliches Maß kein endliches Maß ist?
Da [mm] A_n [/mm] aufsteigend stetig gegen [mm] \omega [/mm] ist heißt dass doch, dass:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bigcup_{i=1}^{n} A_n [/mm] = [mm] \omega [/mm] ist, wobei A1 [mm] \subset [/mm] A2 [mm] \subset [/mm] ...
Dementsprechend muss doch das größtmögliche [mm] A_n, [/mm] in dem alle anderen liegen, auch Omega entsprechen und dann gilt: [mm] µ(\omega) [/mm] = µ( [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bigcup_{i=1}^{n} A_n [/mm] ) < [mm] \infty
[/mm]
Also ist das auch erfüllt.
Wo ist denn mein Fehler?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
Gruß
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:15 Do 26.07.2007 | | Autor: | SEcki |
> Dies scheint mir auch klar zu sein, denn wenn
> [mm]µ(\omega)<\infty[/mm] sein soll und es eine Folge [mm]A_n[/mm] gibt die
> aufsteigend stetig gegen [mm]\omega[/mm] ist, dann muss nach
> logischer Konsequenz ja auch [mm]µ(A_n)<\infty[/mm] sein.
Naja, setze [m]A_n=\omega[/m] für alle n ...
> Warum aber gilt nicht die Umkehrung, dass nicht jedes
> sigma-endliches Maß kein endliches Maß ist?
Du meinst - jedes sigma-endliche Maß ist ein endliches?
> Da [mm]A_n[/mm] aufsteigend stetig gegen [mm]\omega[/mm] ist heißt dass
> doch, dass:
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bigcup_{i=1}^{n} A_n[/mm] = [mm]\omega[/mm]
> ist, wobei A1 [mm]\subset[/mm] A2 [mm]\subset[/mm] ...
> Dementsprechend muss doch das größtmögliche [mm]A_n,[/mm] in dem
> alle anderen liegen, auch Omega entsprechen und dann gilt:
Aha, so eins gibt es also? So eins gibt es eben nicht! Betrachte auf den rellen Zahlen mal [m][-n,n][/m]
> [mm]µ(\omega)[/mm] = µ( [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bigcup_{i=1}^{n} A_n[/mm]
> ) < [mm]\infty[/mm]
> Also ist das auch erfüllt.
Was erfüllt? Ich seh da nichts ...
SEcki
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Ok, dass es ein solches A nicht gibt ist mir klar.
Nur verstehe ich noch immer eins nicht:
Es gilt [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bigcup_{i=1}^{n} A_n [/mm] = [mm] \Omega [/mm] und [mm] A_1 \subset A_2 \subset [/mm] ...
Wenn für alle [mm] A_n [/mm] die Eigenschaft [mm] µ(A_n)<\infty [/mm] gilt und man vereinigt also alle Mengen [mm] A_i, [/mm] i [mm] \in\IN [/mm] umd [mm] (=\Omega), [/mm] dann ist dieses Ergebnis doch auch [mm] <\infty
[/mm]
Danke!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:51 Do 26.07.2007 | | Autor: | Blech |
> Ok, dass es ein solches A nicht gibt ist mir klar.
> Nur verstehe ich noch immer eins nicht:
>
> Es gilt [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bigcup_{i=1}^{n} A_n[/mm]
> = [mm]\Omega[/mm] und [mm]A_1 \subset A_2 \subset[/mm] ...
>
> Wenn für alle [mm]A_n[/mm] die Eigenschaft [mm]µ(A_n)<\infty[/mm] gilt und
> man vereinigt also alle Mengen [mm]A_i,[/mm] i [mm]\in\IN[/mm] umd [mm](=\Omega),[/mm]
> dann ist dieses Ergebnis doch auch [mm]<\infty[/mm]
>
> Danke!
Wenn du im Zusammenhang mit Maßen irgendwo das [mm]\sigma[/mm] siehst, dann bezieht es sich fast immer darauf, daß irgendwas auch für abzählbar unendliche Sachen gilt.
Etwas, das für endliche Vereinigungen (oder was auch immer) gilt, muß nicht für den Grenzwert gelten.
[mm]M:=\{[a,b] |\ a,b \in \mathbb{R}\}[/mm] ist die Menge der abgeschlossenen Intervalle, damit sind alle [mm]\bigcup_{i=1}^{n} A_i \quad A_i \in M[/mm] abgeschlossen. Aber z.B. ist [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bigcup_{i=1}^{n}[1/n,1-1/n] = (0,1)[/mm] offen (oder schau dir auch das Beispiel mit [-n,n] aus der anderen Antwort an).
Wenn du also ein Maß hast, das von sowas betroffen wäre, könnte es sehr wohl nicht [mm] \sigma [/mm] endlich sein.
Der Hauptpunkt ist: Nur weil etwas für endliche Vereinigungen gilt, muß es noch lange nicht für abzählbar unendliche gelten ( z.B. sonst wären Algebra und [mm] \sigma-Algebra [/mm] ja das gleiche)
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