Sigma-Ideal u.a. < Maßtheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Es sei [mm] \Omega [/mm] eine Menge und [mm] \mathcal{A} [/mm] eine [mm] \sigma-Algebra [/mm] über [mm] \Omega.
[/mm]
a) Zeigen Sie: Ist [mm] \mu [/mm] ein Maß auf [mm] \mathcal{A} [/mm] und [mm] \mathcal{N}_\mu [/mm] die Menge aller [mm] \mu-Nullmengen, [/mm] d.h. aller N [mm] \in \mathcal{A} [/mm] mit [mm] \mu(N)=0, [/mm] so ist [mm] \mathcal{N}_\mu [/mm] ein [mm] \sigma-Ideal [/mm] in [mm] \mathcal{A}, [/mm] d.h. es gilt
i) [mm] \emptyset \in \mathcal{N}_\mu
[/mm]
ii) N [mm] \in \mathcal{N}_\mu, [/mm] M [mm] \subset [/mm] N, M [mm] \in \mathcal{A} \Rightarrow [/mm] M [mm] \in \mathcal{N}_\mu
[/mm]
iii) [mm] (N_n)_{n\in\IN} \Rightarrow \bigcup_{n=1}^{\infty}N_n \in \mathcal{N}_\mu.
[/mm]
b) Beweisen Sie, dass für jedes [mm] \sigma [/mm] -Ideal [mm] \mathcal{N} [/mm] in [mm] \mathcal{A} [/mm] ein Maß [mm] \mu [/mm] auf [mm] \mathcal{A} [/mm] mit [mm] \mathcal{N}=\mathcal{N}_\mu [/mm] existiert.
c) Zeigen Sie, dass ein Maß auf [mm] \mathcal{P}(\Omega) [/mm] derart existiert, dass [mm] \mu(A)=0 [/mm] genau dann gilt, wenn A eine abzählbare Teilmenge von [mm] \Omega [/mm] ist.
Hinweis zu b): Betrachten Sie die Abbildung [mm] \mu: \mathcal{A} \rightarrow [0,\infty], [/mm] A [mm] \rightarrow \begin{cases} 0, & A \in \mathcal{N} \\ \infty , & A \in \mathcal{A}\backslash \mathcal{N}\end{cases} [/mm] |
Hallo und schöne Weihnachten,
ich habe über die Ferien diese Aufgabe zu erledigen und habe mir in letzter Zeit aus Skript und Büchern Infos und Einführungen zur Maßtheorie reingezogen. Dabei hatte ich leider nie was mit Ideal zu tun, was mich hier etwas verwirrt.
Hat denn jemand für mich einen Einstieg in die Aufgabe a), sodass ich mich mal mit einer Aufgabe auseinandersetzen kann, und nicht wie bis jetzt nur mit Definition, Satz, Beweis arbeiten muss.
Ein frohes Fest,
Gruss kay_22
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:21 Di 24.12.2013 | | Autor: | fred97 |
> Es sei [mm]\Omega[/mm] eine Menge und [mm]\mathcal{A}[/mm] eine
> [mm]\sigma-Algebra[/mm] über [mm]\Omega.[/mm]
> a) Zeigen Sie: Ist [mm]\mu[/mm] ein Maß auf [mm]\mathcal{A}[/mm] und
> [mm]\mathcal{N}_\mu[/mm] die Menge aller [mm]\mu-Nullmengen,[/mm] d.h. aller
> N [mm]\in \mathcal{A}[/mm] mit [mm]\mu(N)=0,[/mm] so ist [mm]\mathcal{N}_\mu[/mm] ein
> [mm]\sigma-Ideal[/mm] in [mm]\mathcal{A},[/mm] d.h. es gilt
> i) [mm]\emptyset \in \mathcal{N}_\mu[/mm]
> ii) N [mm]\in \mathcal{N}_\mu,[/mm]
> M [mm]\subset[/mm] N, M [mm]\in \mathcal{A} \Rightarrow[/mm] M [mm]\in \mathcal{N}_\mu[/mm]
>
> iii) [mm](N_n)_{n\in\IN} \Rightarrow \bigcup_{n=1}^{\infty}N_n \in \mathcal{N}_\mu.[/mm]
Das soll sicher so lauten:
[mm] (N_n)_{n\in\IN} [/mm] Folge in [mm] \mathcal{N}_\mu \Rightarrow \bigcup_{n=1}^{\infty}N_n \in \mathcal{N}_\mu.
[/mm]
>
> b) Beweisen Sie, dass für jedes [mm]\sigma[/mm] -Ideal [mm]\mathcal{N}[/mm]
> in [mm]\mathcal{A}[/mm] ein Maß [mm]\mu[/mm] auf [mm]\mathcal{A}[/mm] mit
> [mm]\mathcal{N}=\mathcal{N}_\mu[/mm] existiert.
> c) Zeigen Sie, dass ein Maß auf [mm]\mathcal{P}(\Omega)[/mm]
> derart existiert, dass [mm]\mu(A)=0[/mm] genau dann gilt, wenn A
> eine abzählbare Teilmenge von [mm]\Omega[/mm] ist.
>
> Hinweis zu b): Betrachten Sie die Abbildung [mm]\mu: \mathcal{A} \rightarrow [0,\infty],[/mm]
> A [mm]\rightarrow \begin{cases} 0, & A \in \mathcal{N} \\ \infty , & A \in \mathcal{A}\backslash \mathcal{N}\end{cases}[/mm]
>
> Hallo und schöne Weihnachten,
>
> ich habe über die Ferien diese Aufgabe zu erledigen und
> habe mir in letzter Zeit aus Skript und Büchern Infos und
> Einführungen zur Maßtheorie reingezogen. Dabei hatte ich
> leider nie was mit Ideal zu tun, was mich hier etwas
> verwirrt.
>
> Hat denn jemand für mich einen Einstieg in die Aufgabe a),
> sodass ich mich mal mit einer Aufgabe auseinandersetzen
> kann, und nicht wie bis jetzt nur mit Definition, Satz,
> Beweis arbeiten muss.
Zu a):
Bei i) ist zu zeigen: [mm] \mu(\emptyset)=0.
[/mm]
Bei ii) benutze die Monotonie des Maßes.
Bei iii) benutze die [mm] \sigma [/mm] - Subadditivität des Maßes.
FRED
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> Ein frohes Fest,
> Gruss kay_22
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Danke! Die a) war damit kein Problem mehr.
Bin jetzt bei der b). Bin mir nicht sicher ob ich die Aufgabe richtig verstehe.
Ich habe also [mm] \sigma-Ideale [/mm] mit den Eigenschaften i)-iii) aus a). Und für alle diese will ich zeigen, dass ein Maß existiert, sodass [mm] N=N_\mu. [/mm] Was beudetet das denn?
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Hiho,
> Und für alle diese will ich zeigen, dass ein Maß existiert, sodass [mm]N=N_\mu.[/mm] Was beudetet das denn?
Letztendlich "baust" du dir also ein Maß, was als Nullmengen genau die Mengen aus N hat, nicht mehr, aber auch nicht weniger.
Gruß,
Gono.
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Grade noch was zur c), die mir hoffentlich leichter fällt als die b).
Hier suche ich also nach einem Maß, dass [mm] \mu(A)=0, [/mm] genau dann wenn A eine abzählbare Teilmenge von [mm] \Sigma [/mm] ist.
Bin hier auf das Bsp gestoßen, dass ich [mm] \mu [/mm] definiere, wie folgt:
0, falls A abzählbar und
1, falls X/A abzählbar.
Damit soll es funktionieren....?!
Hänge aber an einem nahezu gleichen Beispiel bei dem gilt [mm] \mu:=
[/mm]
0, falls A endlich und
1, falls A unendlich.
Hierbei ist [mm] \mu [/mm] keine [mm] \sigma-Algebra, [/mm] es ist nicht [mm] \sigma-additiv [/mm] und damit ist hier [mm] \mu [/mm] auch kein Maß!!
Liegt der Unterschied also tatsächlich in der Wörtern abzählbar und endlich?
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Hiho,
> Bin hier auf das Bsp gestoßen, dass ich [mm]\mu[/mm] definiere, wie folgt:
> 0, falls A abzählbar und
> 1, falls X/A abzählbar.
Es war dir doch aber ein Maß vorgegeben, letztlich ist es jedoch egal, welches von beiden du nimmst.
> Damit soll es funktionieren....?!
Ja.
> Hänge aber an einem nahezu gleichen Beispiel bei dem gilt
> [mm]\mu:=[/mm]
> 0, falls A endlich und
> 1, falls A unendlich.
> Hierbei ist [mm]\mu[/mm] keine [mm]\sigma-Algebra,[/mm] es ist nicht
> [mm]\sigma-additiv[/mm] und damit ist hier [mm]\mu[/mm] auch kein Maß!!
Genau, sogar ohne !!
> Liegt der Unterschied also tatsächlich in der Wörtern abzählbar und endlich?
Weniger in den Worten, als vielmehr in ihrer Bedeutung.
Das ist ja auch logisch, denn was ist denn eine abzählbare Vereinigung (die der begriff [mm] $\sigma$-irgendwas [/mm] ja faktisch bedeutet) von abzählbaren Mengen? Und von endlichen Mengen?
Gruß,
Gono.
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