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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:37 Mi 11.12.2013 | | Autor: | Zecha |
| Aufgabe | Es sei [mm] \varepsilon [/mm] = [mm] \{[a,\infty]:a\in\IQ\} [/mm] und [mm] B(\overline{\IR}) [/mm] die kleinste sigma-Algebra auf [mm] \overline\IR, [/mm] die [mm] \varepsilon [/mm] enthält. Zeige:
a) [mm] \{\infty\}\in B(\overline{\IR}) [/mm] und [mm] [a,b)\in B(\overline{\IR}) [/mm] für alle [mm] a,b\in\IQ
[/mm]
b) [mm] \IR\in B(\overline{\IR}) [/mm] und [mm] \{-\infty\}\in B(\overline{\IR})
[/mm]
c) [mm] B(\IR) \subset B(\overline{\IR})
[/mm]
d) [mm] B(\overline{\IR})=\{B\cup T : B\in B(\IR), T\subset \{-\infty , \infty\}\} [/mm] |
Hallo,
die Aufgabe macht mir ein bissl zu schaffen, da mir das Verständnis gerade etwas fehlt.
Ich hoffe, dass mich jemand auf den richtigen Weg bringen kann.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:43 Mi 11.12.2013 | | Autor: | fred97 |
> Es sei [mm]\varepsilon[/mm] = [mm]\{[a,\infty]:a\in\IQ\}[/mm] und
> [mm]B(\overline{\IR})[/mm] die kleinste sigma-Algebra auf
> [mm]\overline\IR,[/mm] die [mm]\varepsilon[/mm] enthält. Zeige:
> a) [mm]\{\infty\}\in B(\overline{\IR})[/mm] und [mm][a,b)\in B(\overline{\IR})[/mm]
> für alle [mm]a,b\in\IQ[/mm]
> b) [mm]\IR\in B(\overline{\IR})[/mm] und [mm]\{-\infty\}\in B(\overline{\IR})[/mm]
>
> c) [mm]B(\IR) \subset B(\overline{\IR})[/mm]
> d)
> [mm]B(\overline{\IR})=\{B\cup T : B\in B(\IR), T\subset \{-\infty , \infty\}\}[/mm]
>
> Hallo,
>
> die Aufgabe macht mir ein bissl zu schaffen, da mir das
> Verständnis gerade etwas fehlt.
Wo klemmts denn ? Du solltest schon genauer sagen, wo Du Probleme hast.
FRED
> Ich hoffe, dass mich jemand auf den richtigen Weg bringen
> kann.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:52 Mi 11.12.2013 | | Autor: | Zecha |
Sorry, war wirklich etwas sehr dünn gestellt. Also bei a)
wenn [mm] \varepsilon [/mm] in [mm] B(\overline\IR) [/mm] enthalten ist, und [mm] \varepsilon=\{[a,\infty]\}, [/mm] ist doch [mm] \{\infty\} [/mm] logischerweise auch in [mm] B(\overline\IR).
[/mm]
Ähnlich ist es doch mit [a,b], oder? Weiß nicht genau wie ich das formal zeigen soll.
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Hiho,
> wenn [mm]\varepsilon[/mm] in [mm]B(\overline\IR)[/mm] enthalten ist, und [mm]\varepsilon=\{[a,\infty]\}[/mm] ist
Das ist aber nicht [mm] \varepsilon$!
[/mm]
Nach deiner Definition wäre [mm] \varepsilon [/mm] ein Interval, [mm] \varepsilon [/mm] ist jedoch eine Menge von Intervallen!
> ist doch [mm]\{\infty\}[/mm] logischerweise auch in [mm]B(\overline\IR)[/mm]
Na [mm]\{\infty\}[/mm] ist ja erstmal kein Intervall, sondern eine Einpunktmenge. Wieso sollte die darin enthalten sein?
> Ähnlich ist es doch mit [a,b], oder?
Also [a,b] hat offensichtlich nicht die Form [mm] $[a,\infty]$ [/mm] für ein [mm] $a\in\IQ$
[/mm]
> Weiß nicht genau wie ich das formal zeigen soll.
In dem du die oben angegebenen Mengen durch Sigma-Algebra-Operationen aus der Erzeugermenge konstruierst.
Dazu wäre es vielleicht erstmal gut, die Sigma-Algebra-Operationen aufzuschreiben.
Also: Welche Mengenoperationen darf man denn in einer Sigma-Algebra machen?
Gruß,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:32 Mi 11.12.2013 | | Autor: | Zecha |
Also auf alle Fälle ist ja [mm] \{\emptyset\} [/mm] sowie [mm] \varepsilon [/mm] enthalten.
Mängenoperationen wären dann das Komplement und die Vereinigung.
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Hiho,
> Also auf alle Fälle ist ja [mm]\{\emptyset\}[/mm] sowie [mm]\varepsilon[/mm] enthalten.
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Du solltest dringend Grundlagen nacharbeiten!
Weder das eine noch das andere "ist enthalten".
Was ist wo enthalten?
Schreibe das mal bitte sauber auf!
> Mängenoperationen wären dann das Komplement und die Vereinigung.
Was ist "DIE Vereinigung"?
Bitte auch hier genauer und detaillierter ausführen. Sonst wird das nix mit der Aufgabe.
Gruß,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:06 Mi 11.12.2013 | | Autor: | Zecha |
Sorry, Knoten im Hirn....
Also neuer (und richtiger) Versuch:
Also [mm] \varepsilon [/mm] ist in der Algebra enthalten, und ich darf
1) abzählbare Vereinigungen oder Durchschnitte schon konstruierter Mengen zur Algebra hinzufügen
2) Komplemente schon konstruierter Mengen zur Algebra hinzufügen.
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Hiho,
> Also [mm]\varepsilon[/mm] ist in der Algebra enthalten,
Du hast noch immer nicht erklärt, was du mit "enthalten" meinst. Formuliere das doch mal mathematisch.
> und ich darf 1) abzählbare Vereinigungen oder Durchschnitte schon konstruierter Mengen zur Algebra hinzufügen
Da wird nichts "hinzugefügt", das ist alles bereits enthalten. Aber du erhälst wieder ein Element aus der Sigma-Algebra.
> 2) Komplemente schon konstruierter Mengen zur Algebra hinzufügen.
Das gleiche hier.
Aber du meinst wohl das richtige.
Also: Stelle mal [mm] $\{\infty\}$ [/mm] als abzählbare Vereinigung oder Schnitt oder Komplementbildung von Mengen der Form [mm] $[a,\infty],a\in\IQ$ [/mm] dar.
Gruß,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:44 Mi 11.12.2013 | | Autor: | Zecha |
Also, die Menge [mm] \varepsilon=\{[a,\infty] : a\in \IQ\}\in B(\overline\IR) [/mm] und ist bezüglich Komplementbildung und abzählbarer Vereinigung abgeschlossen.
Ich kann also [mm] \{\infty\} [/mm] als die den Schnitt von Teilmengen [mm] [a,\infty] [/mm] darstellen, wenn ich a gegen [mm] \infty [/mm] gehen lasse.
Nicht schön ausgedrückt, aber der Gedanke ist richtig, oder?
Und [a,b) kann ich als das Komplement von [mm] [b,\infty] [/mm] darstellen, für a<b, [mm] a,b\in\IQ[/mm]
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Hiho,
> Also, die Menge [mm]\varepsilon=\{[a,\infty] : a\in \IQ\}\in B(\overline\IR)[/mm]
Das ist falsch. [mm] \varepsilon [/mm] ist eben kein Element von [mm] $B(\overline\IR)$, [/mm] sondern eine Teilmenge!!
> und ist bezüglich Komplementbildung und abzählbarer Vereinigung abgeschlossen.
Das ist auch falsch.
[mm] \varepsilon [/mm] ist offensichtlich nicht bezüglich Komplementbildung abgeschlossen.
Was ist denn [mm] $[a,\infty]^c$? [/mm] Liegt das in [mm] $\varepsilon$?
[/mm]
> Ich kann also [mm]\{\infty\}[/mm] als die den Schnitt von Teilmengen [mm][a,\infty][/mm] darstellen, wenn ich a gegen [mm]\infty[/mm] gehen lasse.
Na dann mach das doch mal und gib eine Konstruktion an anstatt immer nur zu reden,
> Und [a,b) kann ich als das Komplement von [mm][b,\infty][/mm] darstellen, für a<b, [mm]a,b\in\IQ[/mm]
Nein, da brauchst du noch etwas für. Aber mach mal.
Alles was gefordert ist kannst du explizit konstruieren. Also los!
Gruß,
Gono.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:47 Do 12.12.2013 | | Autor: | Zecha |
Sorry, wenn ich dich so nerve...
Bin grade selber etwas sprachlos, wie sehr mir die Aufgabe zu schaffen macht.
Werde mich nochmal in das Thema einarbeiten und versuchen, meine Kenntnisse zu festigen.
Trotzdem Danke für die Hilfe.
Gruß
Zecha
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:09 Mi 11.12.2013 | | Autor: | Loddar |
Hallo Zecha!
Was hat diese Frage eigentlich mit "Summen von Folgen" bzw. "Folgen und Reihen" zu tun? ![[aeh]](/images/smileys/aeh.gif "[aeh]")
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:39 Mi 11.12.2013 | | Autor: | Zecha |
War ein Denkfehler meinerseits. Habe vorher eine andere Aufgabe gerechnet Kann das jetzt aber leider nicht mehr rückgängig machen.
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