Sigma-Algebra < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Sei [mm] $(\Omega, \mathcal [/mm] F)$ ein messbarer Raum und [mm] B\subset \Omega, B\not= \emptyset, [/mm] aber nicht unbedingt [mm] $B\in \mathcal [/mm] F$. Zeigen Sie, dass die [mm] $Spur-\sigma-Algebra$ \mathcal{F_B} [/mm] von [mm] $\mathcal [/mm] F$ bzgl. B
[mm] $\mathcal{F_B} [/mm] := [mm] \mathcal{F} \cap [/mm] B := [mm] \{A \cap B : A \in \mathcal{F}\}$
[/mm]
eine [mm] \sigma-Algebra [/mm] (auf der Grundmenge B) ist. |
Hallo,
also ich habe mit der Definition von [mm] $\sigma- [/mm] Algebra$ bzw eigentlich mehr mit deren Anwendung ein paar Probleme.
Allgemein ist doch eine [mm] \sigma- [/mm] Algebra so definiert:
Sei ein Mengensystem [mm] $\mathcal{F} \subseteq P(\Omega)$. [/mm] Dann ist eine [mm] \sigma- [/mm] Algebra wie folgt definiert:
1.) [mm] $\Omega \in \mathcal{F}$
[/mm]
2.) $A [mm] \in \mathcal{F} \Rightarrow A^c \in \mathcal{F}$
[/mm]
3.) [mm] $(A_n)_{n \in \IN} \subseteq \mathcal{F} \Rightarrow \bigcap_{n \in \IN} A_n \subseteq \mathcal{F}$
[/mm]
So, jetzt muss ich das ganze Ding auf meine Aufgabe anwenden. Wäre das dann so richtig? Und wenn nein, warum nicht.^^
z.z.
1.)$B [mm] \in \mathcal{F_B}$
[/mm]
2.)$C [mm] \in \mathcal{F_B} \Rightarrow C^c \in \mathcal{F_B}$
[/mm]
[mm] 3.)$(C_n)_{n \in \IN} \subseteq \mathcal{F_B} \Rightarrow \bigcap_{n \in \IN}C_n \subseteq \mathcal{F_B}$
[/mm]
Danke.
lg
Kalia
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:52 Do 18.04.2013 | | Autor: | fred97 |
> Sei [mm](\Omega, \mathcal F)[/mm] ein messbarer Raum und [mm]B\subset \Omega, B\not= \emptyset,[/mm]
> aber nicht unbedingt [mm]B\in \mathcal F[/mm]. Zeigen Sie, dass die
> [mm]Spur-\sigma-Algebra[/mm] [mm]\mathcal{F_B}[/mm] von [mm]\mathcal F[/mm] bzgl. B
> [mm]\mathcal{F_B} := \mathcal{F} \cap B := \{A \cap B : A \in \mathcal{F}\}[/mm]
>
> eine [mm]\sigma-Algebra[/mm] (auf der Grundmenge B) ist.
> Hallo,
> also ich habe mit der Definition von [mm]\sigma- Algebra[/mm] bzw
> eigentlich mehr mit deren Anwendung ein paar Probleme.
> Allgemein ist doch eine [mm]\sigma-[/mm] Algebra so definiert:
> Sei ein Mengensystem [mm]\mathcal{F} \subseteq P(\Omega)[/mm]. Dann
> ist eine [mm]\sigma-[/mm] Algebra wie folgt definiert:
> 1.) [mm]\Omega \in \mathcal{F}[/mm]
> 2.) [mm]A \in \mathcal{F} \Rightarrow A^c \in \mathcal{F}[/mm]
>
> 3.) [mm](A_n)_{n \in \IN} \subseteq \mathcal{F} \Rightarrow \bigcap_{n \in \IN} A_n \subseteq \mathcal{F}[/mm]
>
> So, jetzt muss ich das ganze Ding auf meine Aufgabe
> anwenden. Wäre das dann so richtig? Und wenn nein, warum
> nicht.^^
>
> z.z.
> 1.)[mm]B \in \mathcal{F_B}[/mm]
> 2.)[mm]C \in \mathcal{F_B} \Rightarrow C^c \in \mathcal{F_B}[/mm]
>
> 3.)[mm](C_n)_{n \in \IN} \subseteq \mathcal{F_B} \Rightarrow \bigcap_{n \in \IN}C_n \subseteq \mathcal{F_B}[/mm]
Ja, diese 3 Punkte mußt Du zeigen
FRED
>
> Danke.
>
> lg
> Kalia
|
|
|
|
