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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:22 So 06.04.2008 | | Autor: | barsch |
| Aufgabe | [mm] U\subset{\mathcal{P}(\Omega)} [/mm] sei eine [mm] \sigma-Algebra [/mm] über [mm] \Omega, [/mm] ebenso [mm] U'\subset{\mathcal{P}(\Omega')} [/mm] eine [mm] \sigma-Algebra [/mm] über [mm] \Omega'. f:\Omega\to\Omega' [/mm] eine Abbildung.
Zeige, dass es sich bei
[mm] f^{-1}(U'):=\{f^{-1}(A')\subset\Omega|A'\in{U'}\} [/mm] um eine [mm] \sigma-Algebra [/mm] handelt. |
Hi,
übe gerade ein wenig an [mm] \sigma-Algebren. [/mm] Im Internet bin ich auf diese Aufgabe gestoßen.
Und hier bin ich momentan überfordert. Vielleicht könnt ihr mir aus diesem Loch helfen.
[mm] \mathcal{P} [/mm] ist Potenzmenge.
Was ist zu zeigen?
[mm] \sigma-Algebra [/mm] ist ein Mengensystem A mit [mm] A\subseteq{\mathcal{P}(\Omega)} [/mm] über [mm] \Omega, [/mm] das folgende Bedingungen erfüllt:
i) [mm] \Omega\in{A}
[/mm]
ii) [mm] B\in{A}\Rightarrow{B^c}=\Omega\backslash{B}\in{A}
[/mm]
iii) [mm] B_n\in{A} [/mm] für alle [mm] n\in\IN, [/mm] dann [mm] \bigcup_{n\in\IN}B_n\in{A}.
[/mm]
Ich wünschte, ich könnte eigene Lösungsansätze präsentieren. Vielleicht kann mir jemand anhand dieses Beispiels einmal (detailierter) die richtige Vorgehensweise erklären.
Wäre sehr nett. Danke.
MfG barsch
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> [mm]U\subset{\mathcal{P}(\Omega)}[/mm] sei eine [mm]\sigma-Algebra[/mm] über [mm]\Omega,[/mm]
![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]") Wozu im Folgenden $U$ gebraucht wird, ist mir nicht klar.
> ebenso [mm]U'\subset{\mathcal{P}(\Omega')}[/mm] eine[mm]\sigma-Algebra[/mm] über [mm]\Omega'[/mm].
Gut, dies werden wir benötigen.
> [mm]f:\Omega\to\Omega'[/mm] eine Abbildung.
>
> Zeige, dass es sich bei
>
> [mm]f^{-1}(U'):=\{f^{-1}(A')\subset\Omega|A'\in{U'}\}[/mm] um eine
> [mm]\sigma-Algebra[/mm] handelt.
> Hi,
>
> übe gerade ein wenig an [mm]\sigma-Algebren.[/mm] Im Internet bin
> ich auf diese Aufgabe gestoßen.
>
> Und hier bin ich momentan überfordert. Vielleicht könnt ihr
> mir aus diesem Loch helfen.
>
> [mm]\mathcal{P}[/mm] ist Potenzmenge.
>
> Was ist zu zeigen?
>
> [mm]\sigma-Algebra[/mm] ist ein Mengensystem A mit
> [mm]A\subseteq{\mathcal{P}(\Omega)}[/mm] über [mm]\Omega,[/mm] das folgende
> Bedingungen erfüllt:
>
> i) [mm]\Omega\in{A}[/mm]
>
> ii) [mm]B\in{A}\Rightarrow{B^c}=\Omega\backslash{B}\in{A}[/mm]
>
> iii) [mm]B_n\in{A}[/mm] für alle [mm]n\in\IN,[/mm] dann
> [mm]\bigcup_{n\in\IN}B_n\in{A}.[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Ich wünschte, ich könnte eigene Lösungsansätze
> präsentieren. Vielleicht kann mir jemand anhand dieses
> Beispiels einmal (detailierter) die richtige Vorgehensweise
> erklären.
[mm] $f^{-1}: \mathcal{P}(\Omega')\rightarrow \mathcal{P}(\Omega)$ [/mm] hat ja alle angenehmen Eigenschaften, die man beim Beweis, dass [mm] $\mathcal{A}:= f^{-1}(U')$ [/mm] eine [mm] $\sigma$-Algebra [/mm] ist, benötigt:
(1) Wegen [mm] $\Omega'\in [/mm] U'$ und [mm] $f^{-1}(\Omega')=\Omega$ [/mm] ist [mm] $\Omega \in \mathcal{A}$.
[/mm]
(2) Ist [mm] $B\in \mathcal{A}$, [/mm] also [mm] $B\blue{=}f^{-1}(B')$ [/mm] für ein [mm] $B'\in [/mm] U'$, so folgt aus [mm] $\Omega\backslash B\blue{=}\Omega\backslash f^{-1}(B')\red{=}f^{-1}(\Omega'\backslash [/mm] B')$, dass auch [mm] $\Omega\backslash B\in \mathcal{A}$ [/mm] ist.
(3) Sind [mm] $B_n\in \mathcal{A}$ [/mm] für alle [mm] $n\in \IN$, [/mm] so gibt es, gemäss Definition von [mm] $\mathcal{A}$, $B'_n\in [/mm] U'$, so dass [mm] $B_n\blue{=}f^{-1}(B'_n)$ [/mm] gilt (für alle [mm] $n\in \IN$). [/mm] Daraus folgt [mm] $\bigcup_{n\in \IN}B_n\blue{=}\bigcup_{n\in \IN} f^{-1}(B'_n)\red{=}f^{-1}\left(\bigcup_{n\in\IN} B'_n\right)$. [/mm] Nun ist aber natürlich [mm] $\bigcup_{n\in\IN} B'_n\in [/mm] U'$, woraus, zusammen mit [mm] $\bigcup_{n\in\IN}B_n=f^{-1}\left(\bigcup_{n\in \IN}B'_n\right)$, $\bigcup_{n\in \IN}B_n\in \mathcal{A}$ [/mm] folgt.
(Rot markiert jeweils die Gleichheitszeichen, die wegen der erwähnten "angenehmen Eigenschaften" von [mm] $f^{-1}$, [/mm] aufgefasst als Abbildung [mm] $\mathcal{P}(\Omega')\rightarrow \mathcal{P}(\Omega)$, [/mm] gelten.)
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