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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:05 Sa 14.10.2006 | | Autor: | andi24 |
| Aufgabe | Aufgabe:
Es sei Omega = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }. Man konstruiere die kleinste Sigma-Algebra, welche von den Ereignissen { 1 } und { 3, 5 } erzeugt wird. |
Ich würde folgendermaßen vorgehen: Laut den Bedingungen für eine Sigma-Algebra müssen Omega selbst und die leere Menge in der Sigma-Algebra enthalten sein, sowie natürlich { 1 } und { 3, 5 }, also:
(Omega, {}, { 1 } , { 3, 5 })
Laut Bedingung 2 muss zu jedem Element aus das Komplement enthalten sein:
(Omega, {}, { 1 } , { 3, 5 }, {2, 3, 4, 5, 6}, {1, 2, 4, 6})
Eine Musterlösung, von der ich aber nicht 100%ig weiß ob sie richtig ist, heißt es aber:
(Omega, {}, { 1 } , { 3, 5 }, {2, 4, 6})
Meine Frage: Habe ich etwas falsch verstanden, oder ist meine Musterlösung falsch? Das Komplement von { 1 } müsste ja {2, 3, 4, 5, 6} sein. Natürlich sind 2, 3, 4, 5 und 6 auch laut Musterlösung in meiner Sigmaalgebra, aber eben nicht als Menge {2, 3, 4, 5, 6}, sondern als
"{ 3, 5 }, {2, 4, 6}".
Außerdem müsste ja laut Bedingung 3 auch noch jede Vereinigung der Elemente
[also ausgehende von (Omega, {}, { 1 } , { 3, 5 }, {2, 3, 4, 5, 6}, {1, 2, 4, 6}) ] enthalten sein, was dann eine Sigma-Algebra von:
(Omega, {}, { 1 } , { 3, 5 }, {2, 3, 4, 5, 6}, {1, 2, 4, 6})
+Vereinigungen: {1,3,5}, {1,2,3,4,5,6}
ergeben würde.
Danke, Andi
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt: mathe-profis.de
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:24 Sa 14.10.2006 | | Autor: | Marc |
Hallo andi24,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Aufgabe:
> Es sei Omega = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }. Man konstruiere die
> kleinste Sigma-Algebra, welche von den Ereignissen { 1 }
> und { 3, 5 } erzeugt wird.
> Ich würde folgendermaßen vorgehen: Laut den Bedingungen
> für eine Sigma-Algebra müssen Omega selbst und die leere
> Menge in der Sigma-Algebra enthalten sein, sowie natürlich
> { 1 } und { 3, 5 }, also:
>
> (Omega, {}, { 1 } , { 3, 5 })
>
> Laut Bedingung 2 muss zu jedem Element aus das Komplement
> enthalten sein:
>
> (Omega, {}, { 1 } , { 3, 5 }, {2, 3, 4, 5, 6}, {1, 2, 4,
> 6})
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Eine Musterlösung, von der ich aber nicht 100%ig weiß ob
> sie richtig ist, heißt es aber:
>
> (Omega, {}, { 1 } , { 3, 5 }, {2, 4, 6})
Das ist auch mMn falsch.
> Meine Frage: Habe ich etwas falsch verstanden, oder ist
> meine Musterlösung falsch? Das Komplement von { 1 } müsste
> ja {2, 3, 4, 5, 6} sein. Natürlich sind 2, 3, 4, 5 und 6
> auch laut Musterlösung in meiner Sigmaalgebra, aber eben
> nicht als Menge {2, 3, 4, 5, 6}, sondern als
> "{ 3, 5 }, {2, 4, 6}".
>
> Außerdem müsste ja laut Bedingung 3 auch noch jede
> Vereinigung der Elemente
> [also ausgehende von (Omega, {}, { 1 } , { 3, 5 }, {2, 3,
> 4, 5, 6}, {1, 2, 4, 6}) ] enthalten sein, was dann eine
> Sigma-Algebra von:
>
> (Omega, {}, { 1 } , { 3, 5 }, {2, 3, 4, 5, 6}, {1, 2, 4,
> 6})
> +Vereinigungen: {1,3,5}, {1,2,3,4,5,6}
> ergeben würde.
[mm] $\{1,2,3,4,5,6\}$ [/mm] ist natürlich [mm] $=\Omega$.
[/mm]
Dies sind aber noch nicht alle Mengen:
Von der Menge [mm] $\{1,3,5\}$ [/mm] müsstest Du auch wieder das Komplement dazu nehmen, also [mm] $\{2,4,6\}$.
[/mm]
Nicht auszuschliessen, dass dadurch wieder weitere Vereinigungen/Komplemente beachtet werden müssen...
> Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen
> Internetseiten gestellt: mathe-profis.de
Danke für den Hinweis!
Viele Grüße,
Marc
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:14 So 15.10.2006 | | Autor: | andi24 |
Danke für Deine Antwort. Das heißt die endgültige Lösung der Aufgabe wäre dann:
{
Omega,{},
{1}, {3,5}, // Voraussetzung
{2,3,4,5,6}, {1,2,3,6}, //Komplemente
{1,3,5}, {1,2,3,5,6} //alle möglichen Vereinigungen
}
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:40 So 15.10.2006 | | Autor: | Marc |
Hallo andi24,
> Danke für Deine Antwort. Das heißt die endgültige Lösung
> der Aufgabe wäre dann:
>
> {
>
> Omega,{},
> {1}, {3,5}, // Voraussetzung
> {2,3,4,5,6}, {1,2,3,6}, //Komplemente
> {1,3,5}, {1,2,3,5,6} //alle möglichen Vereinigungen
>
> }
Wie gesagt, es fehlt die Menge [mm] $\Omega\setminus\{1,3,5\}$.
[/mm]
Und auch das Komplement von [mm] $\{1,2,3,5,6\}$ [/mm] fehlt, womit viele weitere Teilmengen entstehen... 
Viele Grüße,
Mardc
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:01 So 15.10.2006 | | Autor: | Marc |
Hallo andi24,
> {
>
> Omega,{},
> {1}, {3,5}, // Voraussetzung
> {2,3,4,5,6}, {1,2,3,6}, //Komplemente
> {1,3,5}, {1,2,3,5,6} //alle möglichen Vereinigungen
>
> }
Und die Menge {1,2,3,6} ist falsch, es gilt doch: [mm] $\Omega\setminus\{3,5\}=\{1,2,4,6\}$
[/mm]
Damit ist [mm] $\{1,2,3,5,6\}$ [/mm] auch keine mögliche Vereinigung mehr (und der zweite Teil meiner vorherigen Antwort hat sich auch erledigt.)
Viele Grüße,
Marc
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