Sigma-Algebra < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:59 So 28.05.2006 | | Autor: | Sanann22 |
| Aufgabe | Sei [mm] \mathcal{A}_{1}:= [/mm] {A [mm] \subset \IR [/mm] : A oder Komplement A ist endlich} und [mm] \mathcal{A}_{2}:= [/mm] {A [mm] \subset \IR [/mm] : A oder Komplement A ist abzählbar}.
Zeigen Sie, dass [mm] \mathcal{A}_{1} [/mm] ein Körper auf [mm] \IR [/mm] und [mm] \mathcal{A}_{2} [/mm] eine Sigma-Algebra auf [mm] \IR [/mm] ist. Zeigen Sie, dass [mm] \mathcal{A}_{1} [/mm] keine Sigma-Algebra ist. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
So hallo!
Mein Problem ist eigentlich die ganze Aufgabe!!! Die ganzen Sigma-Algebra-Sachen sind mir komplett ein Rätsel!
Mit dem zeigen, dass es sich bei [mm] \mathcal{A}_{1} [/mm] um einen Körper handelt kam mir die Idee die Körperaxiome zu prüfen! Aber wie? Nehme ich da Elemente aus [mm] \IR? [/mm] oder aus [mm] \mathcal{A}_{1} [/mm] oder aus A?
Wie zeige ich, dass [mm] \mathcal{A}_{2} [/mm] eine Sigma-Algebra ist?
Mir würde auch eine allgemeine Antwort weiterhelfen!!! Dann könnte ich es auf meine Aufgabe übertragen!!!
Bitte helft mir! Danke schon mal!
Sanann22
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:14 So 28.05.2006 | | Autor: | DirkG |
Mir ist nicht ganz klar, was ein "Körper" hier zu suchen hat. Meinst du nicht viel eher stattdessen eine ![[]](/images/popup.gif) (Mengen-)Algebra ?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:30 So 28.05.2006 | | Autor: | Sanann22 |
Hallo DirkG,
danke für deine Reaktion aber der Begriff Mengen-Algebra sagt mir nichts! So steht es in der Aufgabenstellung drin, hab mich auch schon gewundert!!!
Hab in meinem Stochastik-Skript etwas über einen Körper gefunden:
Ist [mm] \mathcal{A} \subset \mathcal{P}(OMEGA) [/mm] und es gilt
a) OMEGA [mm] \in \mathcal{A}
[/mm]
b) A [mm] \in \mathal{A} \Rightarrow A^{c} \in \mathcal{A}
[/mm]
c) [mm] A_{i} \in \mathcal{A}, [/mm] i [mm] \in \IN \Rightarrow \bigcup^{n} A_{i} \in \mathcal{A}
[/mm]
so heißt [mm] \mathcal{A} [/mm] ein Körper.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:19 So 28.05.2006 | | Autor: | DirkG |
Mit dieser Definition wäre das geklärt: Es ist tatsächlich eine Algebra.
Das als Körper zu bezeichnen, empfinde ich als ausgesprochen bescheuert, angesichts der sonstigen Bedeutungen des Begriffs "Körper" in der Mathematik. Aber dafür kannst du ja nichts. 
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:47 So 28.05.2006 | | Autor: | Sanann22 |
Danke schön hat mir sehr weiter geholfen, zu wissen, dass damit dann kein normaler Körper wie er sonst in der linearen Algebra auftritt gemeint ist.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:52 Mo 29.05.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Sanann!
> Sei [mm]\mathcal{A}_{1}:= \{A \subset \IR[/mm] : A oder
> Komplement A ist endlich[mm]\}[/mm] und [mm]\mathcal{A}_{2}:= \{A \subset \IR[/mm] : A oder Komplement A ist abzählbar[mm]\}[/mm].
> Zeigen Sie, dass [mm]\mathcal{A}_{1}[/mm] ein Körper auf [mm]\IR[/mm] und
> [mm]\mathcal{A}_{2}[/mm] eine Sigma-Algebra auf [mm]\IR[/mm] ist. Zeigen Sie,
> dass [mm]\mathcal{A}_{1}[/mm] keine Sigma-Algebra ist.
So. Hier ist [mm] $\Omega [/mm] = [mm] \IR$. [/mm] Fuer [mm] $\mathcal{A}_1$ [/mm] musst du die 'Koerper'axiome nachrechnen und fuer [mm] $\mathcal{A}_2$ [/mm] die [mm] $\sigma$-Algebra-Axiome. [/mm] Fang doch mal damit an und schreib was du rausbekommst.
Der 'schwierigste' Teil ist der mit der (endlichen/abzaehlbaren) Vereinigung. Da musst du zwei Faelle unterscheiden: Im ersten Fall sind alle Mengen endlich bzw. abzaehlbar. Und im zweiten Fall ist mindestens eine Menge nicht endlich bzw. abzaehlbar; in dem Fall schau dir das Komplement an.
Dass [mm] $\mathcal{A}_1$ [/mm] keine [mm] $\sigma$-Algebra [/mm] ist liegt daran, dass abzaehlbar unendliche Vereinigungen nicht wieder drinnen liegen muessen. Faellt dir ein Beispiel ein? Nimm am besten einelementige Mengen aus [mm] $\mathcal{A}_1$ [/mm] und beachte, dass [mm] $\Omega [/mm] = [mm] \IR$ [/mm] ueberabzaehlbar ist.
(NB: Das wuerde uebrigens ebenso funktionieren, wenn [mm] $\Omega$ [/mm] abzaehlbar unendlich waere...)
> Aber wie? Nehme ich da Elemente aus [mm]\IR?[/mm] oder aus
> [mm]\mathcal{A}_{1}[/mm] oder aus A?
Du nimmst Elemente aus [mm] $\mathcal{A}_1$ [/mm] bzw. [mm] $\mathcal{A}_2$.
[/mm]
LG Felix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:26 Mo 05.06.2006 | | Autor: | Sanann22 |
Danke felixf,
ich hab die Aufgabe in der Uni jetzt besprochen und diese Aufgabe wurde genauso gelöst, wie du es mir skizziert hast, mit den Fallunterscheidungen und so!
Du hast den totalen Durchblick! Danke!
|
|
|
|
