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hi!
ich muss eine Facharbeit über das Thema Rencontre-Problem schreiben und dabei die Silvester- oder auch Siebformel beweisen.
Zur Veranschaulichung soll ich das Problem erst mal für n=5 beschreiben: also wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass von n Briefen, die willkürlich in n Umschläge gesteckt werden, keiner in seinem richtigen Umschlag steckt?
Wie komme ich auf die Wahrscheinlichkeit für n=5, ohne die Siebformel zu benutzen und ohne alle verschiedenen möglichkeiten rauszuschreiben, wie die Briefe in den Umschlägen stecken könnten?
Ich bin bisher nur so weit, dass |S|=5! beträt (der Ergebnisraum).
Den Rest der Facharbei habe ich bereits eigenständig erarbeitet!
Bin für jede hilfe und auch für jeden Ansatz dankbar!
milkalein
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:42 Do 17.02.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Ich würde die Siebformel einfach sprachlich umschreiben und dann die einzelnen Möglichkeiten einzeln ausrechnen, also etwa so (nur schöner formulieren!  ):
Wir interessieren uns für die Wahrscheinlichkeit, dass in mindestens einen der fünf Umschläge der richtige Brief gesteckt wird (denn das Geggenereignis ist die gesuchte Wahrscheinlichkeit).
Zunächst addieren wir für jeden Umschlag die Möglichkeiten, dass zumindestens in ihn der richtige Brief gesteckt wurde (dafür gibt es $n [mm] \cdot [/mm] (n-1)!$ Möglichkeiten, da man $n$ Umschläge wählen kann und in die übrigen $n-1$ Umschläge irgendeiner der übrigen $n-1$ Briefe gesteckt werden kann), stellen dann aber fest, dass wir die Fälle, wo mindestens zwei Briefe in die richtigen Umschläge gesteckt wurden, doppel gezählt haben und ziehen diese ab. Dies sind ${n [mm] \choose [/mm] 2} [mm] \cdot [/mm] (n-2)!$ Möglichkeiten, da wir aus $n$ Umschlägen $2$ auswählen können, in die die richtigen Briefe gesteckt wurden und die anderen $n-2$ Umschläge können irgendwelche der übrigen $n-2$ Briefe gesteckt werden. Die Fälle, wo drei Briefe in den richtigen Umschlag gesteckt wurden, wurden dabei aber doppelt gezählt (denn wenn einmal mindestens in die Umschläge $A$ und $B$ der richtige Brief und ein anderes Mal mindestens in die Umschläge $B$ und $C$ der richtige Brief gesteckt wurde, dann ist der Fall, dass mindestens in die Umschläge $A$, $B$ und $C$ der richtige Brief gesteckt wurde, beides Mal enthalten). Also müssen wir die Fälle, wo mindestens drei Briefe in den richtigen Umschlag gesteckt wurden, wieder dazuaddieren (denn wir haben so vorher zuviel abgezogen). Dies sind ${n [mm] \choose [/mm] 3} [mm] \cdot [/mm] (n-3)!$ Möglichkeiten, da wir aus $n$ Umschlägen $3$ auswählen können, in die die richtigen Briefe gesteckt wurden und die anderen $n-3$ Umschläge können irgendwelche der übrigen $n-3$ Briefe gesteckt werden.
Usw.
Ob das so gewollt ist, weiß ich nicht, aber es zeigt, dass du die Formel verstanden hast. 
Liebe Grüße
Stefan
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