Sichtlinie < Geraden und Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:02 Do 16.10.2014 | | Autor: | Lucas95 |
| Aufgabe | Ist die Bergspitze S von der Insel I bzw. vom Boot H aus zu sehen oder behindert die Pyramide die Sicht?
a) Fertigen Sie zunächst einen Grundriss an (Aufsicht auf die x-y-Ebene)
b) entscheiden Sie anhand des Grundrisses, welche Pyramidenflächen die Sichtlinien unterbrechen könnten.
c) Berechnen Sie, ob die Sichtlinien durch diese Fläche tatsächlich unterbrochen werden.
A(100,-100,20) B(20,140,20) C(-60,-20,-20) D(0,0,80) S(-70,-210,100) H(210,-10,0) I(130,230,0) |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Liebe Community,
ich habe die Aufgabe gerechnet und bin mir wieder etwas unsicher. Es wäre toll, wenn ihr mir mehr Sicherheit geben könntet! (:
a) habe ich gezeichnet und
b) gesehen, dass die Pyramidenfläche ABD die Sichtlinie vom Boot = Punt H aus unterbrechen könnte. Von der Insel I müsste die Bergspitze S problemlos zu sehen sein.
--> Liege ich hier richtig?
c) Jetzt habe ich einfach die Geradengleichung von SH aufgestellt mit Ortsvektor S und Richtungsvektor SH
--> g(x)=[-70,-210,100]+r*[280,200,-100]
und die Ebenengleichung für die Pyramidenfläche ABD mit Ortsvektor A und den Spannvektoren AB und AD
-->e(x)=[100,-100,20]+s*[-80,240,0]+t*[-100,100,-20]
Dann habe ich mit gedacht, wenn die Sichtlinie unterbrochen werden soll, muss es einen Schnittpunkt von Ebene und Gerade geben. Also habe ich die beiden Gleichungen gleichgesetzt.
--> r=71/102 s=23/68 t=-53/102 --> es gibt einen Schnittpunkt
Somit habe ich r in die Geradengleichung g(x) eingesetzt und folgenden Punkt herausbekommen S(124,902; -70,7843; 30,3922). Dies ist der Schnittpunkt von Ebene und Gerade. Somit ist die Bergspitze S vom Boot H aus nicht zu sehen.
Ist mein Gedankengang korrekt? Ich freue mich über hilfreiche Antworten (:
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
|
|
| |
|
Hallo!
Im Grunde ist dein Gedankengang richtig, aber es gibt einige Unstimmigkeiten.
Dein Bild ist nun ja gesperrt, aber ich hab deine Daten mal schnell in meinen Compter eingegeben.
1.: Punkt C liegt in einer Höhe von -20, die anderen bei +20. Soll das so sein? Ist aber nicht schlimm, wie du sagst, kommt es ausschließlich auf das Dreieck ABD an.
2.: Wenn ich das ganze von Oben betrachte, geht die Linie IS voll durch die Pyramide durch, HS geht ganz nahe bei A immernoch durch die Grundfläche. Du solltest also beide Sichtlinien betrachten.
Nun zur Rechnung:
Du gibst an
> e(x)=[100,-100,20]+s*[-80,240,0]+t*[-100,100,-20]
mit den Spannvektoren AB und AD.
Natürlich gibt es AUF JEDEN FALL Schnittpunkte mit beiden Sichtlinien. Schließlich sind Fläche und Sichtlinien nicht parallel. Aber mach dir nochmal klar, was die Parameter s und t sagen. Die geben die an, wieviele Schritte du von A aus in Richtung B und D gehen mußt, um an den Schnittpunkt zu kommen. Nun ist t bei dir negativ. Das heißt, du mußt hier rückwärts gehen, um zu dem Schnittpunkt zu gelangen. Und das kann ja nicht sein.
Da ich hier ne 3D-Grafik habe, kann ich auch bestätigen, daß HS nicht durch die Pyramide verläuft.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:59 Do 16.10.2014 | | Autor: | Lucas95 |
Vielen Dank erstmal,
mit dem Punkt C erscheint mir auch etwas eigenartig, aber auf meiner Arbeitsvorlage ist er genauso notiert. Logisch wäre +20
Ich habe I in meine Zeichnung falsch eingezeichnet. Jetzt sehe ich auch, dass die Gerade genau durch die Pyramide geht. Also ist auch hier die Fläche bzw. das Dreieck ABD betroffen, oder?
nun habe ich für diese Sichtlinie folgende Gleichung aufgestellt:
g(x)=[-70, -210, 100]+u*[200,440,-100].
Mir ist jetzt noch unklar, wie ich denn herausbekomme, ob die Pyramide vom jeweiligen Punkt H oder I zu sehen ist oder nicht.
Meine Rechnung ist doch aber richtig bisher, oder? Ach man, ich würde es so gern verstehen *verzweifelt*
|
|
|
| |
|
> Vielen Dank erstmal,
> mit dem Punkt C erscheint mir auch etwas eigenartig, aber
> auf meiner Arbeitsvorlage ist er genauso notiert. Logisch
> wäre +20
Hallo,
nun, wenn der Boden, auf dem die Pyramide steht, nicht waagerecht ist, kann es doch sein, daß eine Ecke tiefer liegt.
>
> Ich habe I in meine Zeichnung falsch eingezeichnet. Jetzt
> sehe ich auch, dass die Gerade genau durch die Pyramide
> geht. Also ist auch hier die Fläche bzw. das Dreieck ABD
> betroffen, oder?
Genau.
>
> nun habe ich für diese Sichtlinie
zwischen S und I
> folgende Gleichung
> aufgestellt:
> g(x)=[-70, -210, 100]+u*[200,440,-100].
Richtig.
>
> Mir ist jetzt noch unklar, wie ich denn herausbekomme, ob
> die Pyramide vom jeweiligen Punkt H oder I zu sehen ist
> oder nicht.
Du mußt herausfinden, ob die Pyramidenseite ABD im Wege ist.
Berechne dazu den Schnittpunkt mit der Ebene, die durch A,B,D festgelegt ist und entscheide, ob der Schnittpunkt innerhalb des Dreieckes ABD liegt (dann ist die Sichtlinie unterbochen) oder außerhalb.
LG Angela
> Meine Rechnung ist doch aber richtig bisher, oder? Ach man,
> ich würde es so gern verstehen *verzweifelt*
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:37 Do 16.10.2014 | | Autor: | Lucas95 |
Okay, also ich habe jetzt folgendes:
Falls die Sichtlinien unterbrochen werden sollten, muss der Schnittpunkt der jeweiligen Geraden mit der Ebene ABD in folgenden Bereichen liegen:
-60<x<100
-100<y<140
-20<z<80
Jetzt habe ich die Schnittpunkte ausgerechnet. Also als erstes e(x) mit g(x) = Strecke SH also vom Boot aus. Da bekomme ich den Schnittpunkt S mit S(124,902; -70,7843; 30,3922) --> Der y- und z-Wert stimmen mit den Bedingungen überein, der x-Wert jedoch nicht, daraus folgt, dass S kein Element der Pyramidenfläche ABD ist und somit die Sichtlinie nicht blockiert wird. Ist das richtig?
So nun e(x) mit i(x) also von der Insel aus. Da bekomme ich den Schnittpunkt S mit S(69,2157; 96,2745; 30,3922) --> alle Werte stimmen überein, der Punkt ist also Element von der Fläche ABD und somit ist die Sichtlinie blockiert, von der Insel aus kann man die Spitze S nicht sehen.
Stimmt das? (:
|
|
|
| |
|
Hi!
> Okay, also ich habe jetzt folgendes:
> Falls die Sichtlinien unterbrochen werden sollten, muss
> der Schnittpunkt der jeweiligen Geraden mit der Ebene ABD
> in folgenden Bereichen liegen:
> -60<x<100
> -100<y<140
> -20<z<80
Das kannst du so nicht sagen. Hiermit definierst du dir einen Quader im Raum, dessen Seiten parallel zu den Achsen sind, und der die Pyramide komplett einschließt. Schnittpunkte darin sind aber nicht unbedingt echte schnittpunkte. Schließlich wird die Pyramide nach oben hin schmaler, und wenn die Sichtlinie nur noch genug verläuft, geht sie seitlich (aber über der Grundfläche der Pyramide) dran vorbei.
>
> Jetzt habe ich die Schnittpunkte ausgerechnet. Also als
> erstes e(x) mit g(x) = Strecke SH also vom Boot aus. Da
> bekomme ich den Schnittpunkt S mit S(124,902; -70,7843;
> 30,3922) --> Der y- und z-Wert stimmen mit den Bedingungen
> überein, der x-Wert jedoch nicht, daraus folgt, dass S
> kein Element der Pyramidenfläche ABD ist und somit die
> Sichtlinie nicht blockiert wird. Ist das richtig?
>
> So nun e(x) mit i(x) also von der Insel aus. Da bekomme ich
> den Schnittpunkt S mit S(69,2157; 96,2745; 30,3922) -->
> alle Werte stimmen überein, der Punkt ist also Element von
> der Fläche ABD und somit ist die Sichtlinie blockiert, von
> der Insel aus kann man die Spitze S nicht sehen.
>
> Stimmt das? (:
Naja, das ist eben Zufall, daß das richtige raus kommt.
Schau dir den anderen Beitrag von mir an. Dort siehst du, daß die beiden Parameter der Ebene jeweils nicht kleiner als 0 sein dürfen, und ihre Summe nicht größer als 1.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:13 Do 16.10.2014 | | Autor: | Lucas95 |
Danke für alles bis hierher!
Also, ich habe jetzt nochmal mit de richtigen Ebenengleichung gerechnet.
Bei Boot und der Bergspitze bekomme ich
r=1/2 s=-1/4 t=1/2
Der Schnittpunkt lautet nun S(70;-110;50)
Bei Insel und der Bergspitze bekomme ich
für u= 1/2 s=1/4 t=1/2
Der Schnittpunkt lautet nun S(30; 10; 50)
Laut dir würde man also vom Boot aus alles sehen, da s=-1/4 negativ statt positiv, und von der Insel aus würde man die Bergspitze nicht sehen, da alles Werte >0 aber <1 ?
Aber warum ist das so, dass die Werte größer null und kleiner als eins sein müssen? Ich verstehe den Zusammenhang nicht.
|
|
|
| |
|
Hallo!
naja, das habe ich in meiner anderen Antwort doch recht ausführlich erklärt!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 20:32 Do 16.10.2014 | | Autor: | Lucas95 |
Genau. Das habe ich mir auch alles durchgelesen und hoffentlich verstanden. Vielen dank dafür! Deswegen will ich nun wissen, ob meine Ergebnisse und die Begründung richtig sind...
|
|
|
| |
|
> Danke für alles bis hierher!
> Also, ich habe jetzt nochmal mit de richtigen
> Ebenengleichung gerechnet.
> Bei Boot und der Bergspitze bekomme ich
> r=1/2 s=-1/4 t=1/2
> Der Schnittpunkt lautet nun S(70;-110;50)
>
> Bei Insel und der Bergspitze bekomme ich
> für u= 1/2 s=1/4 t=1/2
> Der Schnittpunkt lautet nun S(30; 10; 50)
Hallo,
die Ergebnisse würde ich kontrollieren, wenn ich auf einen Blick die Ebenengleichung und die Geradengleichung sehen könnte.
(Aber Du kannst doch selbst kontrollieren, ob beim Einsetzen der Parameter in Ebenengleichung und Geradengleichung der berechnete Punkt herauskommt.)
>
> Laut dir würde man also vom Boot aus alles sehen, da
> s=-1/4 negativ statt positiv,
Ja.
> und von der Insel aus würde
> man die Bergspitze nicht sehen, da alles Werte >0 aber <1
> ?
Die Werte sind größer als 0, und ihre Summe ist keiner als 1.
Daher liegt der Schnittpunkt im Dreieck ABD,
und man kann S nicht sehen.
> Aber warum ist das so, dass die Werte größer null und
> kleiner als eins sein müssen? Ich verstehe den
> Zusammenhang nicht.
Die Werte müssen größer als 0 sein, und ihre Summe muß kleiner als 1 sein.
Zeichne mal ein Dreieck ABD, die Vektoren [mm] \overrightarrow{AB} [/mm] und [mm] \overrightarrow{AD}, [/mm] und irgendwohin den Nullpunkt 0, dazu den Vektor [mm] \overrightarrow{0A}.
[/mm]
Die Ebenengleichung lautet
[mm] \vec{x}=\overrightarrow{0A}+s\overrightarrow{AB}+t\overrightarrow{AD}.
[/mm]
Jetzt schau mal, wo Du z.B. folgendes findest:
[mm] \overrightarrow{0A}+1*\overrightarrow{AB}+1*\overrightarrow{AD},
[/mm]
[mm] \overrightarrow{0A}+0.5\overrightarrow{AB}+0.5\overrightarrow{AD},
[/mm]
[mm] \overrightarrow{0A}+0.25\overrightarrow{AB}+0.5\overrightarrow{AD},
[/mm]
[mm] \overrightarrow{0A}+0.8\overrightarrow{AB}+0.8\overrightarrow{AD},
[/mm]
[mm] \overrightarrow{0A}-0.25\overrightarrow{AB}+0.5\overrightarrow{AD}.
[/mm]
Dann sollte es Dir klarwerden.
LG Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:35 Fr 17.10.2014 | | Autor: | Lucas95 |
Das ich sicher sein kann, dass die Werte stimmen, hier die Geichungen nochmal auf einen Blick.
Boot --> Bergspitze
g(x)=[-70,-210,100]+r*[280,200,-100]
h(x)=[-70,-210,100]+u*[200,440,-100]
e(x)=[100,-100,20]+s*[-80,240,0]+t*[-100,100,60]
die Schnittpunkte stehen zweimal weiter oben, sowie die Werte für r,u,s und t.
Das probiere ich jetzt gleich mal aus, mit dem >0 und Summe <1 Danke! (:
|
|
|
| |
|
> Das ich sicher sein kann, dass die Werte stimmen, hier die
> Geichungen nochmal auf einen Blick.
> Boot --> Bergspitze
> g(x)=[-70,-210,100]+r*[280,200,-100]
> h(x)=[-70,-210,100]+u*[200,440,-100]
> e(x)=[100,-100,20]+s*[-80,240,0]+t*[-100,100,60]
>
> die Schnittpunkte stehen zweimal weiter oben, sowie die
> Werte für r,u,s und t.
Hallo Lucas,
jetzt muß man ja schon wieder hin- und herklicken...
Wär's nicht einfach gewesen, die hier rein zu kopieren?
Der Schnittpunkt für g und e stimmt.
Der Schnittpunkt für g und h stimmt.
LG Angela
> Das probiere ich jetzt gleich mal aus, mit dem >0 und
> Summe <1 Danke! (:
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:16 Sa 18.10.2014 | | Autor: | Lucas95 |
Guten morgen, also wenn die Schnittpunkte stimmen und die Begründung auch, dann kann ich jetzt davon ausgehen, dass ich die Aufgabe korrekt gelöst habe, oder? Vielen dank für die Hilfen! ((((:
|
|
|
| |
|
> Guten morgen, also wenn die Schnittpunkte stimmen und die
> Begründung auch, dann kann ich jetzt davon ausgehen, dass
> ich die Aufgabe korrekt gelöst habe, oder?
Ja, davon kannst Du ausgehen.
LG Angela
> Vielen dank
> für die Hilfen! ((((:
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:43 So 19.10.2014 | | Autor: | Lucas95 |
Danke!!! (:
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:04 Fr 17.10.2014 | | Autor: | Lucas95 |
Also es liegen alle Punkte drinnen außer der letzte, da es hier "-" heißt, oder?
Aber wenn ich jetzt beispielsweise von der ersten Gleichung r+s rechne, also 1+1, dann kommt ja 2 heraus, aber der Punkt liegt trotzdem im Dreieck.. ?!
|
|
|
| |
|
Hi!
Du hast für die Ebene s und t gewählt, nur um die geht es. Die anderen Parameter gehören zu den Graden und spielen keine Rolle.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:44 Fr 17.10.2014 | | Autor: | Lucas95 |
Okay, ich glaube, ich habe es verstanden. Sind meine Ergebnisse nun richtig?
|
|
|
| |
|
Hallo!
Ich hab hier mal ne Zeichnung...
[Dateianhang nicht öffentlich]
Angenommen, du hast eine Ebene, die von zwei Vektoren aufgespannt wird:
[mm] $E:\qquad \vec{x}=\red{r*\vec{R}}+\green{g*\vec{G}}$
[/mm]
Das Bild zeigt die beiden Vektoren, sowie mit den schwarzen Linien das Parallelogramm, das man aus ihnen bilden kann.
Die Achsen sind so gedacht, daß sie in EInheiten der Vektorlängen sind. Leider ist die Beschriftung nicht so toll.
Angenommen, du berechnest nun Schnittpunkte mit Graden, die von unten nach oben durch die Ebene gehen. Dann könntest du r=0,4 und g=-0,2 erhalten (und natürlich noch nen Parameter für die Grade). Das bedeutet, du mußt vom Stützpunkt -0,2 Längen in Richtung des grünen Vektors gehen, also 0,2 Schritte entgegen der Richtung. Und 0,4 Längen in Richtung des roten Vektors. So landest du bei Punkt A. Und der liegt außerhalb des Bereichs, den die beiden Vektoren aufspannen, eben weil du einmal in die falsche Richtung gegangen bist.
Falls r=0,4 und g=0,3 landest du bei Punkt B, der liegt voll drin.
Und falls r=0,8 und g=1.2, mußtest du 1.2 Längen in Richtung grün gehen, also weiter, als der Vektor lang ist. Daher liegt der Punkt C außerhalb des Parallelogramms.
Jetzt geht es aber um Dreiecke. Betrachten wir also eine Grade, die die Spitzen der beiden Vektoren verbindet:
[mm] g:\qquad\vec{x}=\vec{G}+c*(\vec{R}-\vec{G})
[/mm]
Hier liegt c auch im Intervall [0;1], um ausschließlich die Punkte zwischen den Spitzen der Vektoren zu beschreiben. Formen wir das mal um:
[mm] $g:\qquad \vec{x}=c*\vec{R}+(1-c)*\vec{G}$
[/mm]
Angenommen, du hast nun mal wieder Parameter r und g ermittelt und willst prüfen, ob die genau auf der Verbindungslinie sitzen. Dazu vergleichst du Ebene und Grade:
[mm] $E:\qquad \vec{x}=\red{r*\vec{R}}+\green{g*\vec{G}}$
[/mm]
[mm] $g:\qquad \vec{x}=c*\vec{R}+(1-c)*\vec{G}$
[/mm]
und stellst fest: Das funktioniert nur, wenn r=c und g=1-c=1-r ist. Oder: Wenn r+g=1 ist!
Das bedeutet letztendlich auch: Wenn [mm] r\ge0 [/mm] UND [mm] g\ge0 [/mm] UND [mm] r+g\le1 [/mm] gilt, dann liegt der Punkt im Dreieck, das durch die Vektoren aufgespannt wird.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
|
|
|
| |
|
> A(100,-100,20) B(20,140,20) D(0,0,80)
> und die Ebenengleichung für die Pyramidenfläche ABD mit
> Ortsvektor A und den Spannvektoren AB und AD
> -->e(x)=[100,-100,20]+s*[-80,240,0]+t*[-100,100,-20]
Hallo,
der zweite Richtungsvektor stimmt nicht!
LG Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:05 Do 16.10.2014 | | Autor: | Lucas95 |
Also. Die Ebenengleichung war falsch
so ist sie richtig, oder?
e(x)=[100,-100,20]+s*[-80,240,0]+t*[-100,100,60]
|
|
|
| |
|
Hallo!
So sieht das richtig aus!
Ach ja, und ich hab was für dich:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: gif) [nicht öffentlich]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:50 Do 16.10.2014 | | Autor: | Lucas95 |
Bitte um Hilfe
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:48 Fr 17.10.2014 | | Autor: | M.Rex |
> Bitte um Hilfe
Das müsstest du ein wenig präzisieren. Was genau ist denn noch unklar?
Marius
|
|
|
|
