Sesquilinearform,injektiv < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:56 Mi 03.10.2012 | | Autor: | Lu- |
| Aufgabe | Sei h: V [mm] \times [/mm] V -> [mm] \IC [/mm] eine sesquilinearform dann ist dise durch [mm] [h]_B [/mm] völlig bestimmt: h(v,w)= [mm] [v]_B^{\*} [h]_B [w]_B
[/mm]
[mm] B=(b_1 [/mm] , .. [mm] b_n) [/mm] Basis von V |
Hallo
Beweis;
v= [mm] \sum_i ([v]_B)_i b_i
[/mm]
w= [mm] \sum_j ([w]_B)_j b_j
[/mm]
h(v,w)= [mm] \sum_i ([v]_B)_i b_i [/mm] h [mm] (b_i [/mm] , [mm] b_j [/mm] ) [mm] \sum_j [/mm] ( [mm] [w]_B )_j b_j [/mm] = [mm] \sum_i ([v]_B)_i b_i ([h]_B)_{ij} \sum_j [/mm] ( [mm] [w]_B )_j b_j [/mm]
Wie komme ich nun auf das Adjungierte?
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:19 Mi 03.10.2012 | | Autor: | fred97 |
> Sei h: V [mm]\times[/mm] V -> [mm]\IC[/mm] eine sesquilinearform dann ist
> dise durch [mm][h]_B[/mm] völlig bestimmt: h(v,w)= [mm][v]_B^{\*} [h]_B [w]_B[/mm]
>
> [mm]B=(b_1[/mm] , .. [mm]b_n)[/mm] Basis von V
>
> Hallo
> Beweis;
> v= [mm]\sum_i ([v]_B)_i b_i[/mm]
> w= [mm]\sum_j ([w]_B)_j b_j[/mm]
> h(v,w)=
> [mm]\sum_i ([v]_B)_i b_i[/mm] h [mm](b_i[/mm] , [mm]b_j[/mm] ) [mm]\sum_j[/mm] ( [mm][w]_B )_j b_j[/mm]
> = [mm]\sum_i ([v]_B)_i b_i ([h]_B)_{ij} \sum_j[/mm] ( [mm][w]_B )_j b_j[/mm]
> Wie komme ich nun auf das Adjungierte?
Kläre uns doch biite auf, welche Bedeutung die Symbole [mm] [v]_B, [w]_B [/mm] und [mm] [h]_B [/mm] haben.
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 17:28 Mi 03.10.2012 | | Autor: | Lu- |
Hallo,
Achso entschuldige.
Nun [mm] B=(b_1 [/mm] ,.., [mm] b_n) [/mm] Basis von V , h: V [mm] \times [/mm] V -> [mm] \IC [/mm] sesquilinearform [mm] [h]_B \in M_{n \times n} (\IC),
[/mm]
[mm] ([h]_B)_{ij} [/mm] = [mm] h(b_i [/mm] , [mm] b_j)
[/mm]
Matrixdarstellung von h bzgl B.
Sei [mm] \phi_B [/mm] : [mm] \IK^n [/mm] ->V , [mm] \phi_B \vektor{x_1 \\ \vdots \\x_n} [/mm] = [mm] x_1 *b_1+..+x_n b_n
[/mm]
v [mm] \in [/mm] V: [mm] \exists [/mm] ! [mm] x_1,.., x_n \in \IK [/mm] v= [mm] x_1 b_1 [/mm] + .. + [mm] x_n b_n [/mm]
[mm] [v]_B [/mm] = [mm] \vektor{x_1 \\ \vdots \\x_n} \in \IK^n.. [/mm] Koordianten voon v [mm] \in [/mm] V bezüglich der BasisB
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:20 Fr 05.10.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:57 Do 04.10.2012 | | Autor: | hippias |
> Sei h: V [mm]\times[/mm] V -> [mm]\IC[/mm] eine sesquilinearform dann ist
> dise durch [mm][h]_B[/mm] völlig bestimmt: h(v,w)= [mm][v]_B^{\*} [h]_B [w]_B[/mm]
>
> [mm]B=(b_1[/mm] , .. [mm]b_n)[/mm] Basis von V
>
> Hallo
> Beweis;
> v= [mm]\sum_i ([v]_B)_i b_i[/mm]
> w= [mm]\sum_j ([w]_B)_j b_j[/mm]
> h(v,w)=
> [mm]\sum_i ([v]_B)_i b_i[/mm] h [mm](b_i[/mm] , [mm]b_j[/mm] ) [mm]\sum_j[/mm] ( [mm][w]_B )_j b_j[/mm]
> = [mm]\sum_i ([v]_B)_i b_i ([h]_B)_{ij} \sum_j[/mm] ( [mm][w]_B )_j b_j[/mm]
> Wie komme ich nun auf das Adjungierte?
Du hast in obiger Zeile Umformungsfehler, u.a. weil Du die Skalare einfach aus der Linearform herausgezogen hast; das geht aber nicht, weil die Form sesquilinear ist.
|
|
|
|
