Sequenzen < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Sei 0 [mm] \rightarrow [/mm] V ′ [mm] \rightarrow^f [/mm] V [mm] \rightarrow^g [/mm] V ′′ [mm] \rightarrow [/mm] 0 eine kurze exakte Sequenz von K-Vektorräumen. Zeige,
dass eine solche Sequenz stets spaltet, d. h. dass es eine K-lineare Abbildung [mm] \hat{g} [/mm] : V ′′ [mm] \rightarrow [/mm] V mit
g ° [mm] \hat{g} [/mm] = [mm] id_{V ''} [/mm] gibt. Mit einer solchen Abbildung [mm] \hat{g} [/mm] gilt Folgendes:
(i) [mm] \hat{g} [/mm] ist injektiv, und es gilt V = ker g ⊕ [mm] im\hat{g} [/mm] bzw. V = V ′ ⊕ V ′′, wenn wir V ′ unter f mit ker g = imf identifizieren und entsprechend V ′′ unter [mm] \hat{g} [/mm] mit [mm] im\hat{g}.
[/mm]
(ii) Es existiert eine eindeutig bestimmte K-lineare Abbildung [mm] \hat{f} [/mm] : V [mm] \rightarrow [/mm] V ′ mit [mm] \hat{f} [/mm] ° f = [mm] id_{V '}
[/mm]
und [mm] \hat{f} [/mm] ° [mm] \hat{g} [/mm] = 0.
(iii) Die Sequenz 0 <-- V ′ [mm] <--^{\hat{f}} [/mm] V [mm] <--^{\hat{g}} [/mm] V ′′ <-- 0 ist exakt |
Kann mir jemand bei bei dieser Aufgabe helfen? Ich finde die echt schwer und weis nicht so recht wie ich die lösen kann.
Danke schonmal für eure Antworten.
|
|
| |
|
> Sei 0 [mm]\rightarrow[/mm] V ′ [mm]\rightarrow^f[/mm] V [mm]\rightarrow^g[/mm] V
> ′′ [mm]\rightarrow[/mm] 0 eine kurze exakte Sequenz von
> K-Vektorräumen. Zeige,
> dass eine solche Sequenz stets spaltet, d. h. dass es eine
> K-lineare Abbildung [mm]\hat{g}[/mm] : V ′′ [mm]\rightarrow[/mm] V mit
> g ° [mm]\hat{g}[/mm] = [mm]id_{V ''}[/mm] gibt. Mit einer solchen Abbildung
> [mm]\hat{g}[/mm] gilt Folgendes:
> (i) [mm]\hat{g}[/mm] ist injektiv, und es gilt V = ker g ⊕
> [mm]im\hat{g}[/mm] bzw. V = V ′ ⊕ V ′′, wenn wir V ′ unter
> f mit ker g = imf identifizieren und entsprechend V ′′
> unter [mm]\hat{g}[/mm] mit [mm]im\hat{g}.[/mm]
> (ii) Es existiert eine eindeutig bestimmte K-lineare
> Abbildung [mm]\hat{f}[/mm] : V [mm]\rightarrow[/mm] V ′ mit [mm]\hat{f}[/mm] ° f =
> [mm]id_{V '}[/mm]
> und [mm]\hat{f}[/mm] ° [mm]\hat{g}[/mm] = 0.
> (iii) Die Sequenz 0 <-- V ′ [mm]<--^{\hat{f}}[/mm] V
> [mm]<--^{\hat{g}}[/mm] V ′′ <-- 0 ist exakt
> Kann mir jemand bei bei dieser Aufgabe helfen? Ich finde
> die echt schwer und weis nicht so recht wie ich die lösen
> kann.
Hallo,
trotzdem würde ich von Dir erwarten, daß Du mal mitteilst, wie weit Deine Bemühungen gediehen sind.
Was hast Du Dir denn bisher überlegt, wo scheiterst Du?
Was ist denn überhaupt eine exakte Sequenz, und was wissen wir über die Abbildungen f und g?
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Aufgabe | Hallo,
also exakt heißt imf = kerg. f ist injektiv und g ist surjektiv. Ich glaube [mm] \hat{g} [/mm] ist die Umkehrfunktion von g da ja g° [mm] \hat{g} [/mm] = [mm] id_{V''} [/mm] ist und deswegen müsste g bijektiv sein oder?
|
Das habe ich mir so gedacht bisher.
|
|
|
| |
|
> Hallo,
> also exakt heißt imf = kerg.
Hallo,
naja, die Definition von "exakt" ist das nicht gerade, aber Du hast schon recht damit, daß es gilt.
(Exakt: das Bild einer Funktion ist stets der Kern der nächsten Funktion)
> f ist injektiv und g ist
> surjektiv.
Genau. Ist Dir klar, weshalb?
>Ich glaube [mm]\hat{g}[/mm] ist die Umkehrfunktion von g
Eine Umkehrfunktion kann es nur geben, wenn g bijektiv ist.
> da ja g° [mm]\hat{g}[/mm] = [mm]id_{V''}[/mm] ist
Das reicht nicht für "Umkehrfunktion". Für Umkehrfunktion müßte auch [mm] \hat{g}\circ g=id_V [/mm] sein, wovon hier nicht die Rede ist.
Aber aufgrund der Surjektivität von g gibt es für jedes v'' [mm] \in [/mm] V'' ein [mm] v\in [/mm] V mit g(v)=v'',
Deshalb gibt es eine Funktion [mm] \hat{g} [/mm] mit der Eigenschaft g° [mm]\hat{g}[/mm] = [mm]id_{V''}[/mm] .
(Man weißt jedem [mm] v''\in [/mm] V ein Element aus V zu, welches auf v'' abgebildet wird.)
> und deswegen müsste g
> bijektiv sein oder?
Nein. S.o.
Nun mal weiter.
Du sollst jetzt zeigen, daß [mm] \hat{g} [/mm] injektiv ist.
Was ist dafür zu tun?
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
weil die erste und die letzte abbildung [mm] f_0 [/mm] und [mm] f_4 [/mm] Nullabblidungen sind, gilt
[mm] imf_0=0=kerf [/mm] -> f ist injektiv
[mm] kerf_4=V''=img [/mm] -> g ist surjektiv
und [mm] \hat{g} [/mm] ist injektiv, weil für g [mm] \circ \hat{g} [/mm] = [mm] id_{V''} [/mm] gilt, dass:
es für für jedes g(a) = b und [mm] \hat{g}(b)= [/mm] a a [mm] \in [/mm] V b [mm] \in [/mm] V''
ein [mm] g(\hat{g}(b))= [/mm] b gibt.
da nun g surjetiv ist und img=V'' wird ganz V'' auf V abgebildet.
so und die formel [mm] V=kerg+im\hat{g}
[/mm]
also kerg wird ja auf 0 abgebildet, d.h. dass aus kerg durch [mm] \hat{g} [/mm] nur die 0 getroffen wird und alles andere wurde ja auf ein element in V'' abgebildet und durch [mm] \hat{g} [/mm] zurück abgebildet, was dann [mm] im\hat{g} [/mm] wäre.
aber so darf man das bestimmt leider nicht schreiben.
könntest du mir bitte weiterhelfen?
vielen dank schon mal für bisher, für das verständnis war es schon sehr hilfreich
lg
|
|
|
| |
|
> weil die erste und die letzte abbildung [mm]f_0[/mm] und [mm]f_4[/mm]
> Nullabblidungen sind, gilt
> [mm]imf_0=0=kerf[/mm] -> f ist injektiv
> [mm]kerf_4=V''=img[/mm] -> g ist surjektiv
Hallo,
ja, genau.
>
> und [mm]\hat{g}[/mm] ist injektiv, weil für g [mm]\circ \hat{g}[/mm] =
> [mm]id_{V''}[/mm] gilt, dass:
>
> es für für jedes g(a) = b und [mm]\hat{g}(b)=[/mm] a a [mm]\in[/mm] V b
> [mm]\in[/mm] V''
> ein [mm]g(\hat{g}(b))=[/mm] b gibt.
> da nun g surjetiv ist und img=V'' wird ganz V'' auf V
> abgebildet.
Hm.
Irgendwie habe ich den Verdacht, daß Du nicht weißt, was "injektiv" bedeutet, bzw. daß Du etwas verwechselst...
Schreib doch mal auf, was Du für die Injektivität von [mm] \hat{g} [/mm] zeigen mußt.
Gruß v. Angela
>
> so und die formel [mm]V=kerg+im\hat{g}[/mm]
> also kerg wird ja auf 0 abgebildet, d.h. dass aus kerg
> durch [mm]\hat{g}[/mm] nur die 0 getroffen wird und alles andere
> wurde ja auf ein element in V'' abgebildet und durch
> [mm]\hat{g}[/mm] zurück abgebildet, was dann [mm]im\hat{g}[/mm] wäre.
> aber so darf man das bestimmt leider nicht schreiben.
>
> könntest du mir bitte weiterhelfen?
>
> vielen dank schon mal für bisher, für das verständnis
> war es schon sehr hilfreich
> lg
|
|
|
| |
|
injektiv heißt, dass aus
[mm] f(x_1)=f(x_2) [/mm] sofort [mm] x_1=x_2 [/mm] folgt oder kerf=0
ok, ich hätt jetzt versucht vllt mit g zu arbeiten, aber ich komm nicht so richtig auf das was ich haben will.
lg
|
|
|
| |
|
> injektiv heißt, dass aus
> [mm]f(x_1)=f(x_2)[/mm] sofort [mm]x_1=x_2[/mm] folgt oder kerf=0
Hallo,
also mußt Du, um die Injektivität von [mm] \hat{g} [/mm] zu zeigen, doch zeigen
[mm] \hat{g}(a)=\hat{g}(b) [/mm] ==> a=b
oder alternativ, da [mm] \hat{g} [/mm] eine lineare Abbildung ist, [mm] kern\hat{g}=\{0\}.
[/mm]
Um dies zu zeigen, verwendet man natürlich [mm] g\cirg\hat{g}=id.
[/mm]
>
> ok, ich hätt jetzt versucht vllt mit g zu arbeiten, aber
> ich komm nicht so richtig auf das was ich haben will.
Um Dir zu helfen, muß man sehen, was Du tust - zusammen mit Deinen Erklärungen, warum Du tust, was Du tust.
"Ich komm nicht so richtig auf das, was ich haben will" ist etwas schwammig, denn weder kann ich dem entnehmen, was Du machst, noch das, was Du haben willst.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
also ich hab mir gedacht:
g(a)=b und g(c)=d
dann ist
[mm] \hat{g}(b)=\hat{g}(d)
[/mm]
[mm] \hat{g}(g(a))=\hat{g}(g(c))
[/mm]
a=c
und das ist ja nciht so ganz was ich eigentlich will.
weil ich ja eigentlich b=d zeigen wollte.
lg
|
|
|
| |
|
> also ich hab mir gedacht:
>
> g(a)=b und g(c)=d
Hallo,
diesen Gedanken lassen wir mal weg und steigen gleich voll ein.
>
> dann ist
Sei
>
> [mm]\hat{g}(b)=\hat{g}(d)[/mm]
Nun wende hierauf die Funktion g an.
Guck nochmal nach, was für [mm] g\circ\hat{g} [/mm] gilt.
Bedenke: [mm] \hat{g}\circ g=id_V [/mm] ist was anderes - was hier auch nicht gilt. Du hast zuvor diese Beziehung verwendet.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
stimmt, das hab ich vertauscht, denkfehler, sorry.
Sei
$ [mm] \hat{g}(b)=\hat{g}(d) [/mm] $ wende nun g linksseitig an
[mm] g\circ \hat{g}(b)=g\circ\hat{g}(d)
[/mm]
da [mm] g\circ\hat{g} [/mm] = [mm] id_{V''} [/mm] gilt
b= d
geht das so?
|
|
|
| |
|
Halo,
ja, nun hast Du die Injektivität richtig gezeigt.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
so und nun will ich ja noch zeigen, dass [mm] V=kerg\oplus im\hat{g} [/mm] gilt:
also ich hab mir das mal aufgezeichnet. anschaulich is es mir nun klar. der kerg bildet nur auf die 0 ab. da V'' surjektiv ist, wird jedes element getroffen. nun bilde ich diese elemente mit [mm] \hat{g} [/mm] ab. da [mm] \hat{g} [/mm] linear ist, wird die 0 auf die 0 abgebildet und da [mm] \hat{g} [/mm] injektiv ist, wird auch NUR die 0 auf die 0 abgebildet. die restlichen elemente in V'' werden auf [mm] im\hat{g} [/mm] abgebildet. allerdings können im kerg ja noch andere elemente außer der 0 drin sein. diese werden nicht getroffen von [mm] \hat{g} [/mm] und somit bilden [mm] kerg\oplus im\hat{g} [/mm] ganz V. die summe ist direkt, da im schnitt nur die 0 liegt.
ich denke allerdings, dass diese erklärung nicht reicht und vllt könnte mir ja jemand helfen, wie ich das mathematisch am besten aufschreibe...
|
|
|
| |
|
> so und nun will ich ja noch zeigen, dass [mm]V=kerg\oplus im\hat{g}[/mm]
> gilt:
>
> also ich hab mir das mal aufgezeichnet. anschaulich is es
> mir nun klar.
Hallo,
echt? Irgendwie reicht meine Anschauung nicht so weit.
> der kerg bildet nur auf die 0 ab.
Achte auf Deine Sprache: der Kern g bildet auf gar nichts ab. Kern g ist eine Menge.
Wahrscheinlich möchtest Du sagen, daß jedes Element von Kern g auf die 0 abgebildet wird.
Also: [mm] v\in [/mm] Kerng ==> g(v)=0. Meintest Du das?
> da V''
> surjektiv ist,
Quatsch. Mengen sind nicht surjektiv.
Surjektivität ist eine Eigenschaft von Funktionen.
Meintest Du, daß g surjektiv ist? Das stimmt.
> wird jedes element getroffen.
Übersetzt: zu jedem [mm] v''\in [/mm] V'' gibt es ein [mm] v\in [/mm] V mit g(v)=v''.
> nun bilde ich
> diese elemente mit [mm]\hat{g}[/mm] ab.
Du betrachtest für [mm] v\in [/mm] Kern g [mm] \hat{g}(g(v)) [/mm] und für [mm] v''\in [/mm] V'' das Element [mm] \hat{g}(g(v)) [/mm] ? Oder wie hast Du Dir das gedacht.
> da [mm]\hat{g}[/mm] linear ist, wird
> die 0 auf die 0 abgebildet
Ja. [mm] \hat{g}(0)=0
[/mm]
> und da [mm]\hat{g}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
injektiv ist,
> wird auch NUR die 0 auf die 0 abgebildet.
Ja. \hat{g}{v'')=0 ==> v''=0.
> die restlichen
> elemente in V''
Welche denn jetzt? Die nicht auf die 0 abbgebildet werden?
Oder welche meinst Du?
> werden auf [mm]im\hat{g}[/mm] abgebildet.
Achso. Alle (!!!) Elemente aus V'' werden doch durch [mm] \hat{g} [/mm] auf [mm] bild\hat{g} [/mm] abgebildet. (Wohin auch sonst?)
> allerdings
> können im kerg ja noch andere elemente außer der 0 drin
> sein.
Ja. Denn es ist nicht gesagt, daß g surjektiv ist.
> diese werden nicht getroffen von [mm]\hat{g}[/mm]
Hier versteh ich jetzt nicht, was Du meinst
Ich verstehe es doch.
Auf die von 0 verschiedenen Elemente des Kerns von g wird kein Element aus V'' durch [mm] \hat{g} [/mm] abgebildet.
Damit hast Du nun, daß im Schnitt von kern g und bild [mm] \hat{g} [/mm] nur die 0 liegt.
> und somit
> bilden [mm]kerg\oplus im\hat{g}[/mm] ganz V.
Das sehe ich nun nicht.
Zeigen mußt Du ja, daß Du jedes Element aus [mm] v\in [/mm] V schreiben kannst als [mm] v=v_1+v_2 [/mm] mit [mm] v_1\in [/mm] Kern g und [mm] v_2\in [/mm] Bild [mm] \hat{g}.
[/mm]
Tip: schreibe v als v=[v- [mm] \hat{g}(v'') [/mm] ] + [mm] \hat{g}(v'') [/mm] , wobei v''= g(v).
Gruß v. Angela
> die summe ist direkt,
> da im schnitt nur die 0 liegt.
>
> ich denke allerdings, dass diese erklärung nicht reicht
> und vllt könnte mir ja jemand helfen, wie ich das
> mathematisch am besten aufschreibe...
|
|
|
| |
|
vielen dank für den tipp, was erst einmal zu zeigen ist und wie ich v schrieben muss. Das war wirklich sehr hilfreich.
also:
z.z jedes [mm] v\in [/mm] V besitzt eine Darstellung v= [mm] v_1 [/mm] + [mm] v_2 [/mm] mit [mm] v_1 [/mm] mit [mm] v_1 \in [/mm] kerg und [mm] v_2 \in im\hat{g}
[/mm]
beweis:
sei v= [mm] (v-\hat{g}(v''))+ \hat{g}(v'') [/mm] mit v'' = g(v)
es gilt [mm] \hat{g}(v'')\in im\hat{g} [/mm] also bleibt zu zeigen, dass [mm] v-\hat{g}(v'') \in [/mm] kerg
es gilt:
[mm] g(v-\hat{g}(v'')) \overbrace{=}^{g linear} [/mm] g(v) - [mm] g(\hat{g}(v'')) [/mm] = g(v) - v'' = g(v) -g(v) = 0
somit [mm] v-\hat{g}(v'') \in [/mm] kerg
ich hoffe das stimmt so.
lg
|
|
|
| |
|
> vielen dank für den tipp, was erst einmal zu zeigen ist
> und wie ich v schrieben muss. Das war wirklich sehr
> hilfreich.
> also:
>
> z.z jedes [mm]v\in[/mm] V besitzt eine Darstellung v= [mm]v_1[/mm] + [mm]v_2[/mm] mit
> [mm]v_1[/mm] mit [mm]v_1 \in[/mm] kerg und [mm]v_2 \in im\hat{g}[/mm]
>
> beweis:
>
> sei v= [mm](v-\hat{g}(v''))+ \hat{g}(v'')[/mm] mit v'' = g(v)
>
> es gilt [mm]\hat{g}(v'')\in im\hat{g}[/mm] also bleibt zu zeigen,
> dass [mm]v-\hat{g}(v'') \in[/mm] kerg
>
> es gilt:
>
> [mm]g(v-\hat{g}(v'')) \overbrace{=}^{g linear}[/mm] g(v) -
> [mm]g(\hat{g}(v''))[/mm] = g(v) - v'' = g(v) -g(v) = 0
>
> somit [mm]v-\hat{g}(v'') \in[/mm] kerg
>
> ich hoffe das stimmt so.
Hallo,
ja, so ist das richtig.
Gruß v. Angela
>
> lg
>
|
|
|
| |
|
hm, also ich hab noch einmal drüber nachgedacht. ist damit auch gezeigt dass die summe direkt ist?
ich bin etwas verunsichert.
und zu der nächsten teilaufgabe, ich weiß nicht so recht warum es so eine abbildung geben sollte.
aber [mm] \hat{f}\circ\hat{g}= [/mm] 0 müsste bedeutet, dass [mm] im\hat{g} \subseteq ker\hat{f} [/mm] da das ja auf 0 abgebildet wird.
mir hilft die erkenntnis aber nicht unbedingt weiter um [mm] \hat{f}\circ [/mm] f = [mm] id_{V'} [/mm] zu zeigen.
könntest du mir bitte weiterhelfen? danke schon einmal
lg
|
|
|
| |
|
> hm, also ich hab noch einmal drüber nachgedacht. ist damit
> auch gezeigt dass die summe direkt ist?
> ich bin etwas verunsichert.
Hallo,
dann formuliere jetzt Deine Verunsicherung.
Was verunsichert Dich?
Was genau ist zu zeigen, wenn Du die Direktheit der Summe zeigen möchtest?
Was davon hast Du ganz sicher gezeigt?
Was hast Du noch nicht gezeigt?
An welcher Stelle hast Du weshalb Zweifel, ob es gezeigt ist?
> und zu der nächsten teilaufgabe, ich weiß nicht so recht
> warum es so eine abbildung geben sollte.
Ich weiß sowas auch nie auf einen Blick.
Was hast Du Dir denn zu der Existenz dieser Abbildung überlegt?
Du wirst ja sicher ein bißchen was ausprobiert haben. Was denn?
Die Tatsache, daß [mm] f:V'\to [/mm] V injektiv ist, legt doch einen Versuch zur Definition von [mm] \hat{f} [/mm] geradezu nahe, zumal ja [mm] \hat{f} [/mm] "so eine Art" Umkehrfunktion sein soll.
Man kann doch einfach mal ein paar Versuchsballons starten. Wenn die platzen, ist das nicht schlimm, man lernt trotzdem dabei.
Wenn Du ein wenig überlegt hast, dann könnte Dir auch die zuvor bewiesene Tatsache V = ker g ⊕ $ [mm] im\hat{g} [/mm] $ nützlich sein.
Da Du eine exakte Sequenz vorliegen hast, weißt Du ja auch etwas über Kern g.
Gruß v. Angela
> aber [mm]\hat{f}\circ\hat{g}=[/mm] 0 müsste bedeutet, dass
> [mm]im\hat{g} \subseteq ker\hat{f}[/mm] da das ja auf 0 abgebildet
> wird.
>
> mir hilft die erkenntnis aber nicht unbedingt weiter um
> [mm]\hat{f}\circ[/mm] f = [mm]id_{V'}[/mm] zu zeigen.
>
> könntest du mir bitte weiterhelfen? danke schon einmal
>
> lg
|
|
|
| |
|
also zur direkten summe noch einmal. wenn ich direkte summe höre denke ich immer daran dass der schnitt gleich 0 ist. und ich frag mich halt, ob man die elemente nicht auch so wählen kann, dass es ein element gibt dass in beidem liegt. aber mir würde auch keins einfallen, aber es ließ mich eben grübeln, ob ich das nciht auch dann noch zeigen muss, nicht dass ich das unbedingt will...
ok, ich geb zu da waren wieder die scheuklappen, nur weil diesmal nicht da steht zeigen sie das [mm] \hat{f} [/mm] surjektiv ist, heißt es ja nicht das man es nicht braucht.
also ich versuch mich mal dran:
wir wissen f ist injektiv weil [mm] \ker{f} [/mm] = 0
z.z [mm] \hat{f} [/mm] ist surjektiv, also zu jedem v' [mm] \in [/mm] V' gibt es ein v [mm] \in [/mm] V mit [mm] \hat{f}(v)=v'
[/mm]
da v= f(v') eindeutig bestimmt ist, da f injektiv ist, und es zu allen v' [mm] \in [/mm] V' eini eindeeutiges [mm] f(v')\in [/mm] V gibt, muss es um die Gleichung [mm] \hat{f}\circ f=id_{V'} [/mm] zu gewährleisten, ein eindeutiges [mm] \hat{f}(v) [/mm] mit [mm] \hat{f}(f(v'))=v' [/mm] geben, sodass dies für jedes v' [mm] \in [/mm] V' gilt.
Damit ist auch gezeigt, dass [mm] \hat{f} [/mm] eindeutig ist, oder? (ich hab vielleicht ein wenig oft das Wort eindeutig benutzt)
bleibt zu zeigen: [mm] \hat{f} \circ \hat{g} [/mm] = 0
so jetzt wissen wir aus i) dass V= [mm] \ker{g} \oplus im\hat{g} [/mm] und da die sequenz exakt ist, gilt [mm] \ker{g}= [/mm] imf
also: V = [mm] \im{f} [/mm] + [mm] im\hat{g} \Rightarrow [/mm] imf = V - [mm] im\hat{g}
[/mm]
imf ist das, was [mm] \hat{f} [/mm] zurück abbildet, d.h., dass es zu jedem v' [mm] \in [/mm] V' ein v [mm] \in [/mm] V\ [mm] im\hat{g} [/mm] gibt mit [mm] \hat{f}(v)=v'
[/mm]
Alle anderen Elemente aus V, also alle a [mm] \in im\hat{g} [/mm] müssen also auf 0 abgebildet werden ( oder auhc gar nicht oder? ist das egal?), sodass gilt [mm] \hat{f} \circ \hat{g} [/mm] = 0
vielen dank für die tipps!
|
|
|
| |
|
> also zur direkten summe noch einmal. wenn ich direkte summe
> höre denke ich immer daran dass der schnitt gleich 0 ist.
> und ich frag mich halt, ob man die elemente nicht auch so
> wählen kann, dass es ein element gibt dass in beidem
> liegt. aber mir würde auch keins einfallen, aber es ließ
> mich eben grübeln, ob ich das nciht auch dann noch zeigen
> muss, nicht dass ich das unbedingt will...
Hallo,
ja, natürlich muß das gezeigt werden.
Daß V die Summe der beiden Räume ist, hatten wir ja, die Direktheit aber steht noch aus.
(Du hattest in Worten was zum Schnitt gesagt.)
Also: nimm an, es ist [mm] x\in [/mm] kern [mm] g\cap [/mm] bild [mm] \hat{g} [/mm] und ziehe Deine Schlüsse.
>
> ok, ich geb zu da waren wieder die scheuklappen, nur weil
> diesmal nicht da steht zeigen sie das [mm]\hat{f}[/mm] surjektiv
> ist, heißt es ja nicht das man es nicht braucht.
???
>
> also ich versuch mich mal dran:
>
> wir wissen f ist injektiv weil [mm]\ker{f}[/mm] = 0
Ja.
>
> z.z [mm]\hat{f}[/mm] ist surjektiv,
Soweit sind wir überhaupt noch nicht.
Wir haben doch noch gar nicht die Abbildung [mm] \hat{f}.
[/mm]
Die muß man sich erst definieren.
Wenn man das getan hat, kann man über ihre Eigenschaften nachdenken.
Gruß v. Angela
also zu jedem v' [mm]\in[/mm] V' gibt es
> ein v [mm]\in[/mm] V mit [mm]\hat{f}(v)=v'[/mm]
>
> da v= f(v') eindeutig bestimmt ist, da f injektiv ist, und
> es zu allen v' [mm]\in[/mm] V' eini eindeeutiges [mm]f(v')\in[/mm] V gibt,
> muss es um die Gleichung [mm]\hat{f}\circ f=id_{V'}[/mm] zu
> gewährleisten, ein eindeutiges [mm]\hat{f}(v)[/mm] mit
> [mm]\hat{f}(f(v'))=v'[/mm] geben, sodass dies für jedes v' [mm]\in[/mm] V'
> gilt.
>
> Damit ist auch gezeigt, dass [mm]\hat{f}[/mm] eindeutig ist, oder?
> (ich hab vielleicht ein wenig oft das Wort eindeutig
> benutzt)
>
> bleibt zu zeigen: [mm]\hat{f} \circ \hat{g}[/mm] = 0
>
> so jetzt wissen wir aus i) dass V= [mm]\ker{g} \oplus im\hat{g}[/mm]
> und da die sequenz exakt ist, gilt [mm]\ker{g}=[/mm] imf
>
> also: V = [mm]\im{f}[/mm] + [mm]im\hat{g} \Rightarrow[/mm] imf = V -
> [mm]im\hat{g}[/mm]
>
> imf ist das, was [mm]\hat{f}[/mm] zurück abbildet, d.h., dass es zu
> jedem v' [mm]\in[/mm] V' ein v [mm]\in[/mm] V\ [mm]im\hat{g}[/mm] gibt mit
> [mm]\hat{f}(v)=v'[/mm]
> Alle anderen Elemente aus V, also alle a [mm]\in im\hat{g}[/mm]
> müssen also auf 0 abgebildet werden ( oder auhc gar nicht
> oder? ist das egal?), sodass gilt [mm]\hat{f} \circ \hat{g}[/mm] =
> 0
>
> vielen dank für die tipps!
|
|
|
| |
|
ich versuchs mal:
Sei $ [mm] x\in [/mm] $ ker $ [mm] g\cap [/mm] $ im $ [mm] \hat{g} [/mm] $
dann gilt g(x) = 0 und x= g(y) [mm] y\in [/mm] V''
da [mm] \hat{g} [/mm] injektiv ist und g [mm] \circ \hat{g}=id_{V''} [/mm] gilt, gibt es nur ein [mm] \hat{g}(y)=x [/mm] für das gilt:
[mm] g(\hat{g}(x))=0 \Rightarrow [/mm] x=0
Daraus folgt [mm] kerg\cap [/mm] im [mm] \hat{g} [/mm] = 0 . Die Summe ist somit direkt.
So jetzt bin ich verwirrt. Ich muss mir [mm] \hat{f} [/mm] erst definieren? ich dachte das steht in der Aufgabenstellung. also mir würde da jetzt auch wenn nur [mm] \hat{f}: [/mm] V [mm] \to [/mm] V' mit zu jedem f(v')=v gibt es ein f'(v)=v'.
meintest du das damit?
lg
|
|
|
| |
|
> ich versuchs mal:
>
> Sei [mm]x\in[/mm] ker [mm]g\cap[/mm] im [mm]\hat{g}[/mm]
>
> dann gilt g(x) = 0 und x= [mm] \hat{g}(y)[b]für [/mm] ein[/b] [mm]y\in[/mm] V''
>
> da [mm]\hat{g}[/mm] injektiv ist und g [mm]\circ \hat{g}=id_{V''}[/mm] gilt,
> gibt es nur ein [mm]\hat{g}(y)=x[/mm] für das gilt:
> [mm]g(\hat{g}(x))=0 \Rightarrow[/mm] x=0
Hallo,
hier ist etwas im Argen: Du schreibst [mm] \hat{g}(x). [/mm] Das geht aber gar nicht, denn [mm] \hat{g} [/mm] bildet aus dem Raum V'' heraus ab, x ist jedoch ein Element von V.
Aber ich denke, Du hast es gleich.
>
> Daraus folgt [mm]kerg\cap[/mm] im [mm]\hat{g}[/mm] = 0 . Die Summe ist somit
> direkt.
>
> So jetzt bin ich verwirrt. Ich muss mir [mm]\hat{f}[/mm] erst
> definieren? ich dachte das steht in der Aufgabenstellung.
Nein, das ist ein Arbeitsauftrag. Du sollst zeigen, daß es eine Funktion [mm] \hat{f} [/mm] mit den gegebenen Eigenschaften gibt.
Definiere also eine passende Funktion und zeige, daß sie tut, was sie soll.
> also mir würde da jetzt auch wenn nur [mm]\hat{f}:[/mm] V [mm]\to[/mm] V'
> mit zu jedem f(v')=v gibt es ein f'(v)=v'.
Ich brauche eine eindeutige Betriebsanleitung dafür, wie ich [mm] \hat{f}(v') [/mm] ausrechnen soll.
Achso, vielleicht meinst Du dies:
[mm] \hat{f}(v):=v' [/mm] mit f(v')=v.
Diese Zuordnung ist eindeutig. (Warum)
Allerdings fehlt noch etwas: auf diese Weise ist [mm] \hat{f} [/mm] ja erst für die v definiert, die im Bild von f liegen...
Gruß v. Angela
>
> meintest du das damit?
>
> lg
|
|
|
|
