Sequenz von Bidualmoduln < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:07 Mi 30.08.2006 | | Autor: | sonne83 |
Hallo,
meine Frage betrifft die Exaktheit von Sequenzen von Moduln:
Sei [mm]0\rightarrow M\rightarrow N\rightarrow P\rightarrow 0[/mm] eine exakte Sequenz. Ist dann auch die Sequenz der Bidualmoduln
[mm]0\rightarrow M^{**}\rightarrow N^{**}\rightarrow P^{**}\rightarrow 0[/mm] exakt?
Mir gelingt es schon nicht, Abbildungen zwischen den Bidualmoduln zu finden. Geht das überhaupt?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Viele Grüße
sonne83
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:21 Mi 30.08.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Sonne!
> meine Frage betrifft die Exaktheit von Sequenzen von
> Moduln:
> Sei [mm]0\rightarrow M\rightarrow N\rightarrow P\rightarrow 0[/mm]
> eine exakte Sequenz. Ist dann auch die Sequenz der
> Bidualmoduln
> [mm]0\rightarrow M^{**}\rightarrow N^{**}\rightarrow P^{**}\rightarrow 0[/mm]
> exakt?
> Mir gelingt es schon nicht, Abbildungen zwischen den
> Bidualmoduln zu finden. Geht das überhaupt?
Ja, das geht. Sogar auf natuerliche weise 
Und zwar ist das Dualisieren ein kontravarianter Funktor (falls dir das was sagt). Soll heissen: Jedem Morphismus $N [mm] \to [/mm] M$ von Moduln wird auf natuerliche weise ein Morphismus [mm] $M^\ast \to N^\ast$ [/mm] zwischen den Bimodulen zugewiesen, wobei sich die Richtung aendert. Und diese Zuweisung erhaelt die Identitaetsabbildung und ist vertraeglich mit Verkettung.
Und wenn du das jetzt zweimal machst, erhaelst du also auf natuerliche Weise eine Abbildung [mm] $N^{\ast\ast} \to M^{\ast\ast}$.
[/mm]
Wie das ganze funktioniert? [mm] $N^\ast$ [/mm] ist ja die Menge aller $R$-Modulhomomorphismen [mm] $\varphi [/mm] : N [mm] \to [/mm] R$, und ebenso [mm] $M^\ast [/mm] = Hom(M, R) = [mm] \{ f : M \to R \mid f \text{ Modulmorphismus } \}$. [/mm] Wenn du jetzt aus einem $f [mm] \in [/mm] Hom(M, R)$ ein [mm] $f^\ast \in [/mm] Hom(N, R)$ machen willst, und zwar mit Hilfe von [mm] $\varphi$, [/mm] dann bleibt dir nur eine Wahl: und zwar [mm] $f^\ast [/mm] = f [mm] \circ \varphi [/mm] : N [mm] \to [/mm] R$. also $f = f [mm] \circ \varphi \in N^\ast$.
[/mm]
(Das ganze geht uebrigens allgemeiner: Ist $P$ ein beliebiger weiterer Modul, so erhaelst du eine aehnliche Konstruktion, die $f : M [mm] \to [/mm] N$ auf $Hom(f, P) : Hom(N, P) [mm] \to [/mm] Hom(M, P)$, $g [mm] \mapsto [/mm] f [mm] \circ [/mm] g$ abbildet; hierbei ist $Hom(f, P)$ der Name der neuen Abbildung.)
LG Felix
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