Sequentieller Likelihood Test < math. Statistik < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:55 Sa 24.11.2007 | | Autor: | AnnaB |
| Aufgabe | [mm] x_1,x_2,... [/mm] sind unabhängig und identisch verteilt mit [mm] P_p (x_k=1) [/mm] =p und [mm] P_p (x_k=-1) [/mm] =q.
Getestet werden soll H0: [mm] p=p_0 [/mm] gegen H1: [mm] p=p_1, [/mm] wobei [mm] p_0
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In dem Beispiel ist der Likelihood Qoutient angegeben als [mm] l_n=(p_1p_0^{-1})^{(n+S_n)/2}(q_1q_0^{-1})^{(n-S_n)/2} [/mm] wobei [mm] S_n= \sum x_k. [/mm]
Wie kommt man darauf?
Der Likelihood Quotient ist definiert als [mm] l_n (x_1,x_2,...x_n)= f_{1n}(x_1,x_2,...,x_n)/f_{0n}(x_1,x_2,...,x_n)
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:56 Sa 24.11.2007 | | Autor: | luis52 |
Moin Anna,
zunaechst erst einmal ein herzliches ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Es gilt also $ [mm] P_p (x_k=1) [/mm] =p$ und $ [mm] P_p (x_k=-1) [/mm] =q=1-p$.
Es stehen zwei Modelle zur Diskussion, eines bei dem [mm] $p=p_0$ [/mm] und eines
bei dem [mm] $p=p_1$ [/mm] ist mit [mm] $p_0
beobachtet (bestehend aus Zahlen $-1$ und $+1$). Wie gross ist die
Wsk, dass wir diese Werte beobachten? Wenn [mm] $p=p_0$ [/mm] ist, so ist sie
[mm] $f_{0n}(x_1,x_2,...,x_n)=P(X_1=x_1,X_2=x_2,...,X_n=x_n)=p_0^{A}q_0^{-B}$.
[/mm]
Dabei ist [mm] $A=\sum_{x_i=1}x_i$ [/mm] die Anzahl der Zahlen $+1$ unter den Werten
[mm] $x_1,...,x_n$ [/mm] und [mm] $-B=-\sum_{x_i=-1}x_i$ [/mm] ist die Anzahl der Zahlen $-1$.
Ist hingegen [mm] $p=p_1$, [/mm] so ist die obige Wsk gegeben durch
[mm] $f_{1n}(x_1,x_2,...,x_n)=P(X_1=x_1,X_2=x_2,...,X_n=x_n)=p_1^{A}q_1^{-B}$.
[/mm]
Mithin ist der Likelihood-Quotient gegeben durch
$ [mm] l_n (x_1,x_2,...x_n)=\frac{f_{1n}(x_1,x_2,...,x_n)}{f_{0n}(x_1,x_2,...,x_n)}=(p_1/p_0)^A(q_1/q_0)^{-B}$.
[/mm]
Schauen wir nun, ob wir zu deiner Vorgabe kommen. Es ist [mm] $S_n=A+B$ [/mm] und
$n=A-B$. Folglich ist [mm] $A=(n+S_n)/2$ [/mm] und [mm] $-B=(n-S_n)/2$. [/mm] Damit folgt der
Rest.
lg
Luis
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:25 So 25.11.2007 | | Autor: | AnnaB |
Hallo Luis,
vielen Dank für die schnelle Antwort:)
LG
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