Senkrechte Geraden mit a und b < Gleichungssysteme < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:48 Sa 20.04.2013 | | Autor: | Marcel93 |
| Aufgabe | | Bestimmen Sie (mit Begründung) alle a,b [mm] \in \IR [/mm] , für die Gerade [mm] \vektor{a \\ 1 \\ 1} [/mm] + [mm] \lambda \vektor{b \\ 2 \\ 1} [/mm] senkrecht zur Geraden [mm] \vektor{1 \\ 5 \\ 6} [/mm] + [mm] \lambda \vektor{1 \\ 2 \\ 3} [/mm] liegt. |
Hallo Mathe Forum,
ich komme bei dieser Aufgabe nicht ganz zurecht. Mir ist klar, dass ich bei dem Skalarprodukt der Vektoren 0 raus bekommen muss, damit die Geraden senkrecht zueinander stehen. Bei meinem ersten Versuch habe ich zwar jeweils für a und b eine Lösung raus, bin dabei allerdings recht primitiv vorgegangen. Für a habe ich -10 raus, für b -8,5. Das ist aber wahrscheinlich auch nur dann richtig, wenn [mm] \lambda [/mm] = 1 ist. Also kann man direkt sagen es ist falsch.
Außerdem habe ich für a und b nur jeweils einen Wert raus, und das war ja auch nicht gefragt. Ich brauche alle möglichen Kombinationen und weiß nicht so recht wie ich da dran komme. Mein Dozent hat mir gesagt, dass wir diese Aufgabe in Maximal 5 Minuten gelöst haben sollten, kriege ich aber leider nicht hin.
Ich hoffe mir kann hier geholfen werden.
mfg Marcel.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:52 Sa 20.04.2013 | | Autor: | Loddar |
Hallo Marcel!
Im ersten Schritt bestimmst Du $b_$ über das Skalarprodukt der beiden Richtungsvektoren.
Denn damit die beiden Geraden auch senkrecht zueinander stehen, muss das entsprechende Skalarprodukt Null ergeben.
Nun müssen sich aber auch beide Geraden schneiden: daher bestimme $a_$ derart, dass es einen Schnittpunkt gibt.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:41 Sa 20.04.2013 | | Autor: | Marcel93 |
Wenn ich das Skalarprodukt der Richtungsvektoren bestimme, kommt für b -7 raus. Das müsste soweit richtig sein.
Um zu überprüfen ob die Geraden sich schneiden, habe ich sie [mm] gleichgesetzt(\lambda [/mm] = 1). Dabei kommt für a = 9 raus.
Mein Skalarprodukt habe ich dann so aufgeschrieben:
[mm] \vektor{9 \\ 1 \\ 1} [/mm] + [mm] \lambda \vektor{-7 \\ 2 \\ 1} [/mm] x [mm] \vektor{1 \\ 5 \\ 6} [/mm] + [mm] \lambda \vektor{1 \\ 2 \\ 3}
[/mm]
Dabei kommt niemals 0 heraus. Was habe ich falsch gemacht?
mfg Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:19 Mi 24.04.2013 | | Autor: | Marcel93 |
Für a bekomme ich 3 raus und für b -7
Wenn ich diese Werte in meine Grundfunktion eintrage, kommt auch auf beiden Seiten das gleiche raus, also muss es richtig sein.
Was mir jetzt noch nicht klar ist, ob diese Lösungen für a und b die einzigen Möglichen sind. Die Aufgabe lautet schließlich, ich solle alle Möglichkeiten für a und b bestimmen, mit Begründung.
mfg Marcel
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Hallo,
> Für a bekomme ich 3 raus und für b -7
> Wenn ich diese Werte in meine Grundfunktion eintrage,
> kommt auch auf beiden Seiten das gleiche raus, also muss es
> richtig sein.
>
> Was mir jetzt noch nicht klar ist, ob diese Lösungen für
> a und b die einzigen Möglichen sind. Die Aufgabe lautet
> schließlich, ich solle alle Möglichkeiten für a und b
> bestimmen, mit Begründung.
Die Bedingung für b (mittels Skalarprodukt) lautet ja:
b+4+3=0
Dies ist eine lineare Gleichung in b mit der Lösung b=-7. Das a in der anderen Geraden bewirkt eine Verschiebung in [mm] x_1-Richtung. [/mm] Dabei kann es - wenn überhaupt - nur zu einem Schnittpunkt mit der zzweiten Geraden kommen. Von daher kann man schon ohne Nachrechnen sagen, dass die Lösung dieser Aufgabe eindeutig sein muss, so sie existiert.
Zusammengefasst: die von dir ermittelte Lösung ist korrekt und es ist die einzige Lösung.
Gruß, Diophant
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Was bzw. wofür soll das jetzt gut sein?
