Semidefinitheit < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
wenn ich das richtig verstanden habe, dann habe ich Semidefinitheit vorliegen, wenn eine meiner Determinanten der Hesse-Matrix 0 ist.
Ich habe laut Definition
positiv semidefinit, wenn det [mm] A_{S,S} \ge [/mm] 0
negativ semidefinitv, wenn der (-1)^# [mm] A_{S,S} \ge [/mm] 0
oder
positiv semidefinit wenn [mm] x*A*x^t \ge [/mm] 0
negativ semidefinit, wenn [mm] x*A*x^t \le [/mm] 0
Ich verstehe diese Definitionen, so schön sie sein möge, aber nicht. Kann mir jemand diese Fälle ohne diese unverständlichen Zeichen erklären?
Heißt das, wenn eine meiner Determinanten =0 werden, muss ich solche Definitionen benutzen um noch zu bestimmen, ob positiv oder negativ semidefinit? Aber dann weiß ich doch auch nicht mehr, oder etwa doch?
Gibt es einen Tipp, wann ich mit welcher der 2 Definitionen weiterrechnen soll? (Angenommen, ich hätte sie beide verstanden). ;o)
Ich bedanke mich bei euch!
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> Hallo,
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> wenn ich das richtig verstanden habe, dann habe ich
> Semidefinitheit vorliegen, wenn eine meiner Determinanten
> der Hesse-Matrix 0 ist.
Hallo,
wenn die "große" Determinante =0 ist, kann (!) Semidefinitheit der Hessematrix vorliegen.
Auf jeden Fall ist die Matrix dann weder positiv noch negativ definit noch indefinit,
>
> Ich habe laut Definition
>
> positiv semidefinit, wenn det [mm]A_{S,S} \ge[/mm] 0
>
> negativ semidefinitv, wenn der (-1)^# [mm]A_{S,S} \ge[/mm] 0
Hier müßtest Du die komplette Definition posten. Weiß der Geier, was S sein soll.
>
> oder
>
> positiv semidefinit wenn [mm]x*A*x^t \ge[/mm] 0
>
> negativ semidefinit, wenn [mm]x*A*x^t \le[/mm] 0
Bestimmt stand da noch: für alle [mm] x\not=0 \in \IR^n,
[/mm]
und ich meine außerdem, daß dort doch jeweils [mm] "x^t*A*x" [/mm] stehen wird.
Nehmen wir eine nxn-Matrix A.
Dort steht nun, daß A positiv definit ist, wenn für jedes [mm] x:=\vektor{x_1\\\vdots\\x_n}\not=0 \in \IR^n [/mm] gilt
[mm] x^t*A*x=(x_1, [/mm] ... , [mm] x_n)A\vektor{x_1\\\vdots\\x_n} \ge [/mm] 0,
wenn also keins dieser Produkte negativ wird.
>
> Ich verstehe diese Definitionen, so schön sie sein möge,
> aber nicht. Kann mir jemand diese Fälle ohne diese
> unverständlichen Zeichen erklären?
>
> Heißt das, wenn eine meiner Determinanten =0 werden, muss
> ich solche Definitionen benutzen um noch zu bestimmen, ob
> positiv oder negativ semidefinit? Aber dann weiß ich doch
> auch nicht mehr, oder etwa doch?
Anhand der obigen def. kannst Du festellen, ob die Matrix etwa pos. definit ist - es ist oftmals nicht ganz einfach.
Für symmetrische Matrizen - und um solche handelt es sich je bei den Hessematrizen - steht Dir hier das Eigenwertkriterium zur Verfügung: kein Eigenwert negativ ==> Matrix positiv semidefinit.
>
> Gibt es einen Tipp, wann ich mit welcher der 2 Definitionen
> weiterrechnen soll?
Was genau hast Du vor?
Wenn Du eine sicheres Kriterium für Extremwerte brauchst, nützen Dir nur pos./neg. definit und indefinit etwas.
Gruß v. Angela
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Hallo,
lieben Dank. Eventuell poste ich nachher nochmal ein Beispiel, dann wir es vielleicht noch klarer.
Was meinst du aber mit Eigenwertkriterium?
Und "Anhand der obigen def. kannst Du festellen, ob die Matrix etwa pos. definit ist - es ist oftmals nicht ganz einfach." Du meinst semidefinit, oder?
Danke dir!
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> Was meinst du aber mit Eigenwertkriterium?
Hallo,
hab' ich doch geschrieben: bei symmetrischen Matrizen kann man anhand der Eigenwerte entscheiden, ob sie neg., pos definit, indefinit, pos./neg. semidefinit ode nichts von alledem sind.
>
> Und "Anhand der obigen def. kannst Du festellen, ob die
> Matrix etwa pos. definit ist - es ist oftmals nicht ganz
> einfach." Du meinst semidefinit, oder?
Ich meinte positiv semidefinit..
Bei positiv deinit hätte man > statt [mm] \ge.
[/mm]
Gruß v. Angela
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Das Wort Eigenwertkriterium habe ich noch nie gehört. Meinst du damit die Determinanten?
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> Das Wort Eigenwertkriterium habe ich noch nie gehört.
> Meinst du damit die Determinanten?
Hallo,
nein, ich meine die Eigenwerte, aber wenn bei Euch keine Eigenwerte dran waren, dann nützt Dir das Eigenwertkriterium überhaupt nichts.
Du mußt ja schon irgendwie mit den Methoden der Vorlesung vorwärts kommen.
Gruß v. Angela
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Okay, nochmal:
> Ich habe laut Definition
>
> positiv semidefinit, wenn det [mm]A_{S,S} \ge[/mm] 0
>
> negativ semidefinitv, wenn der (-1)^# [mm]A_{S,S} \ge[/mm] 0
>
In der Definition steht nicht genau, was S ist. Hier steht nur S [mm] \subseteq [/mm] {1,...,n}.
Kann das jemand erklären?
> oder
>
> positiv semidefinit wenn [mm]x*A*x^t \ge[/mm] 0
>
> negativ semidefinit, wenn [mm]x*A*x^t \le[/mm] 0
Das steht genau so in meinem Skript, aber wie gesagt, anfangen kann ich damit irgendwie nichts.
Wenn ich nun eine Determinante habe bei einer Matrix die =0 ist, muss ich also mit diesen Definitionen weitergucken um zu schauen, ob meine Matrix positiv oder negativ semidefinit ist. Aber was sagt mir das dann?
Bei positiv semidefinit seien die stationären Punkte entweder lok. Minima oder Sattelpunkte. Bei negativ semidefinit entweder lok. Maxima oder Sattelpunkte.
Aber dann habe ich noch diese Definition:
Es sei f eine 2x stetig diffbare Funktion. Ist [mm] x^{(0)} [/mm] ein Punkt mit Gradient von f [mm] (x^{(0)} [/mm] )=(0,...,0) so hat dort f
ein globales Minimum, wenn die Hessematrix für jedes x positiv definit ist; umgekehrt ein Maximum.
Ich habe jetzt zB die Matrix (Hesse)
2 -2
-2 2
sowie
hier ist die Det ja =0
Wie gehe ich nun vor? Ich habe 2 Definitionen, aber welche führt mich jetzt zum Ziel und wie genau?
Zu der ersten Definition haben wir:
2 > 0
2 > 0aber -2 <0, aber nach Definition [mm] (-1)^1*2 [/mm] => <0
Was hat man hier gemacht und was ist nun mein Ergebnis?
Und wie würde das mit der 2. Definition aussehen?
Ein anderes Beispiel:
1 0 1
0 0 0
1 0 0 ist die Hessematrix, offensichtlich semidefinit, da ich det=0 habe
Aber das Ergebnis ist indefinit, da die Determinante von
1 1
1 0 =-1 ist
Wieso kann man jetzt auf indefinit kommen? Ich dachte bei =0 prüfe ich nur noch ob positiv/negativ definit? Und wie kommt man hier auf diese Determinante?
"Man kann das auch ohne Definition von oben sehen: Für x=(-1,0,1) ist [mm] x*A*x^t=-1 [/mm] aber für y=(1,1,0) ist [mm] y*A*y^t=1"
[/mm]
Wieso geht man hier jetzt wieder ganz anders vor? :(
Ich wäre euch sehr dankbar, wenn ihr mir helfen würdet!
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> Okay, nochmal:
>
> > Ich habe laut Definition
> >
> > positiv semidefinit, wenn det [mm]A_{S,S} \ge[/mm] 0
> >
> > negativ semidefinitv, wenn der (-1)^# [mm]A_{S,S} \ge[/mm] 0
> >
>
> In der Definition steht nicht genau, was S ist. Hier steht
> nur S [mm]\subseteq[/mm] {1,...,n}.
>
> Kann das jemand erklären?
Hallo,
solange Du nicht verrätst, was bei Euch z.B. mit [mm] A_{4,4} [/mm] gemeint ist, wird man das schlecht erklären können.
Es geht hier ja wohl um ein nicht so verbreitetes Kriterium zur Semidefinitheit.
Wenn Du die Zutaten erklärst, wird man das klären können, aber so nicht - ich hab' jetzt auch keine Lust, das ganze internet zu durchforsten. Den Job überlasse ich Dir...
>
> > oder
> >
> > positiv semidefinit wenn [mm]x*A*x^t \ge[/mm] 0
> >
> > negativ semidefinit, wenn [mm]x*A*x^t \le[/mm] 0
>
> Das steht genau so in meinem Skript, aber wie gesagt,
> anfangen kann ich damit irgendwie nichts.
Ich habe Dir ja schon gesagt, daß das genau andersrum heißen muß, also x^tAx, jedenfalls dann, wenn die x bei Euch Spaltenvektoren sind. Wenn die x bei Euch zeilen sind, ist's so richtig.
Wie man es ausrechnet, habe ich in einem vorhergehende Post bereits gesagt.
>
> Wenn ich nun eine Determinante habe bei einer Matrix die =0
> ist, muss ich also mit diesen Definitionen weitergucken um
> zu schauen, ob meine Matrix positiv oder negativ
> semidefinit ist.
Möglicherweise ist sie auch nichts von beidem.
> Aber was sagt mir das dann?
Es könnte ein Extremwert vorliegen oder ein Sattelpunkt.
>
> Bei positiv semidefinit seien sind die stationären Punkte
> entweder lok. Minima oder Sattelpunkte. Bei negativ
> semidefinit entweder lok. Maxima oder Sattelpunkte.
>
> Aber dann habe ich noch diese Definition:
>
> Es sei f eine 2x stetig diffbare Funktion. Ist [mm]x^{(0)}[/mm] ein
> Punkt mit Gradient von f [mm](x^{(0)}[/mm] )=(0,...,0) so hat dort
> f
>
> ein globales Minimum, wenn die Hessematrix für jedes x
> positiv definit ist; umgekehrt ein Maximum.
Ja, das ist ja keine Neuigkeit.
das ist das hinreichende Kriterium für eine Extremwert.
>
> Ich habe jetzt zB die Matrix (Hesse)
>
> 2 -2
> -2 2
>
> sowie
>
>
> hier ist die Det ja =0
Ja.
>
> Wie gehe ich nun vor? Ich habe 2 Definitionen, aber welche
> führt mich jetzt zum Ziel und wie genau?
> Zu der ersten Definition haben wir:
>
> 2 > 0
> 2 > 0aber -2 <0, aber nach Definition [mm](-1)^1*2[/mm] => <0
>
> Was hat man hier gemacht und was ist nun mein Ergebnis?
Keine Ahnung. s.o.: solange Du nicht die nötigen Erklärungen zu den [mm] A_S_S [/mm] lieferst, sieht's trübe aus.
>
> Und wie würde das mit der 2. Definition aussehen?
So:
(x ,y)* [mm] \pmat{2&-2\\-2&2} \vektor{x\\y}=(x, y)*\vektor{2x-2y\\-2x+2y}=2x^2-2xy [/mm] - 2xy [mm] +2y^2= [/mm] 2 [mm] (x-y)^2 \ge [/mm] 0 für alle [mm] \vektor{x\\y}\not=\vektor{0\\0 }\in \IR^2, [/mm] also positiv semidefinit.
>
> Ein anderes Beispiel:
>
> 1 0 1
> 0 0 0
> 1 0 0 ist die Hessematrix, offensichtlich semidefinit, da
> ich det=0 habe
Nein, wenn eine 3x3-Matrix die Determinante 0 hat, ist sie nicht unbedingt semidefinit. Sie kann auch gar nichts sein.
> Aber das Ergebnis ist indefinit,
Nein, das stimmt nicht. Man kann hierfür das Eigenwertkriterium bemühen, aber das hattet Ihr ja nicht.
Also mit der 2. Definition
(x,y,z) [mm] \pmat{1&0&1\\0&0&0\\ 1&0&0}\vektor{x\\y\\z} [/mm] = [mm] (x,y,z)\vektor{x+z\\0\\x}= x^2 [/mm] +2xz=x(x-2z)
Hier bekommt man je nach eingesetzem Vektor postitiv, negative oder =0 Ergebnisse. Die Matrix ist also nicht semitdefinit, aber auch nicht indefinit.
da die Determinante von
>
> 1 1
> 1 0 =-1 ist
>
> Wieso kann man jetzt auf indefinit kommen? Ich dachte bei
> =0 prüfe ich nur noch ob positiv/negativ definit? Und wie
> kommt man hier auf diese Determinante?
S.o: die nicht erklärten Bezeichnungen.
>
> "Man kann das auch ohne Definition von oben sehen: Für
> x=(-1,0,1) ist [mm]x*A*x^t=-1[/mm] aber für y=(1,1,0) ist
> [mm]y*A*y^t=1"[/mm]
>
> Wieso geht man hier jetzt wieder ganz anders vor? :(
Mit der Def. , die ich oben auch verwendet habe.
Sinnigerweise hätte man noch erwähnen sollen, daß für [mm] \vektor{2\\0\\1} [/mm] die 0 herauskommt.
[mm] x^t*A*x [/mm] liefert hier für [mm] x\not=0 [/mm] also 0, positive und negative Werte, ist also weder semidefinit noch indefinit.
Gruß v. Angela
> Ich wäre euch sehr dankbar, wenn ihr mir helfen würdet!
>
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Aber ob ich doch nun (x,y) oder [mm] \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} [/mm] nach vorne stelle, ist doch eigentlich egal, oder nicht? Also ob ich nun [mm] x^t [/mm] oder x nach vorne oder hinten stelle. Oder übersehe ich da was?
Ich denke, dass S,S meinen soll, dass es die Spalte und Zeile sagt, also ist zB [mm] A_{1,1} [/mm] Spalte 1, Zeile 1 usw.
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Hallo!
Wir hatten das mal so ähnlich für Bilinearformen in unserer Vorlesung folgendermaßen: Wenn [mm] A\in\IK^{n\times n}, [/mm] und [mm] S\in\{1,...,n\}, [/mm] dann bezeichnet
[mm] $A_{S,S}$ [/mm] die Matrix bis zur S-ten Zeile bzw. Spalte.
Man kann also A positiv semidefinit zeigen, indem man bei der Matrix
[mm] $A=\pmat{ a_{1,1} & a_{2,1} & ... & a_{n,1} \\ a_{1,2} & a_{2,2} & ... & a_{n,2} \\ ... & ... & ... & ... \\ a_{1,n} & a_{2,n} & ... & a_{n,n}}$
[/mm]
zeigt, dass
[mm] \det \pmat{a_{1,1}} \ge [/mm] 0
[mm] \det \pmat{a_{1,1} & a_{2,1} \\ a_{1,2} & a_{2,2}} \ge [/mm] 0
...
[mm] \det [/mm] A [mm] \ge [/mm] 0
Grüße,
Stefan.
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> Aber ob ich doch nun (x,y) oder [mm]\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}[/mm]
> nach vorne stelle, ist doch eigentlich egal, oder nicht?
> Also ob ich nun [mm]x^t[/mm] oder x nach vorne oder hinten stelle.
> Oder übersehe ich da was?
Hallo,
merk Dir einfach, daß vorne ein zeilenvektor stehen muß.
Du kannst doch
[mm] \vektor{5\\6}*\pmat{ 1 & 2 \\ 3 & 4 } [/mm] gar nicht ausrechnen, und genausowenig [mm] \pmat{ 1 & 2 \\ 3 & 4 } [/mm] *(5 , 6). Probier's aus.
>
> Ich denke, dass S,S meinen soll, dass es die Spalte und
> Zeile sagt, also ist zB [mm]A_{1,1}[/mm] Spalte 1, Zeile 1 usw.
Die Diagonalelemente? Nee...
Gruß v. Angela
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