Selbstadjungierte Isometrie < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:49 So 28.06.2009 | | Autor: | gladice |
| Aufgabe | Sei H ein Hilbertraum und V:H-->H ein beschränkter Operator.
Zeigen sie, dass V genau dann eine Isometrie ist, wenn V*V=id.
Zeigen sie, dass V genau dann eine Symmetrie (selbstadjungierte Isometrie) ist, wenn es abgeschlossene Unterräume [mm] H_+ [/mm], [mm] H_- [/mm] [mm] \subset [/mm] [mm] H [/mm] gibt mit
[mm] H_+ [/mm] + [mm] H_- [/mm] = H
[mm] H_+ [/mm] orthogonal zu [mm] H_- [/mm]
und V([mm] x_+ [/mm] + [mm] x_- [/mm]) = [mm] x_+ [/mm] - [mm] x_- [/mm] für alle [mm] x_+ \in \ H_+ [/mm] und [mm] x_- \in \ H_- [/mm] |
Hi Leute!
Ich sitze jetzt schon eine Weile an dieser Aufgabe und habe einfach keine Idee!
Es tut mir sehr leid, dass ich bis jetzt keine eigene Idee oder einen Ansatz liefern kann, aber ich arbeite dran und melde mich wieder!
Hat vielleicht jemand schon eine Idee oder kann mir einen Tipp geben?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Lieben Gruß,
Gladice
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:31 So 28.06.2009 | | Autor: | Merle23 |
> Sei H ein Hilbertraum und V:H-->H ein beschränkter Operator.
> Zeigen sie, dass V genau dann eine Isometrie ist, wenn [mm]V^\* V=id[/mm].
Ist eigentlich V linear? (Muss nicht sein; nur als Frage).
Für den adjungierten Operator gilt doch [mm] = [/mm].
Und V ist Isometrie, wenn [mm] = [/mm].
Beide Richtungen sind eigentlich Einzeiler. Du musst nur das, was du hast, aneinanderreihen.
> Zeigen sie, dass V genau dann eine Symmetrie (selbstadjungierte Isometrie) ist, wenn es abgeschlossene Unterräume [mm]H_+ [/mm], [mm]H_-[/mm] [mm]\subset[/mm] [mm]H[/mm] gibt mit [mm]H_+[/mm] + [mm]H_-[/mm] = H, [mm]H_+[/mm] orthogonal zu [mm]H_-[/mm] und V([mm] x_+[/mm] + [mm]x_- [/mm]) = [mm]x_+[/mm] - [mm]x_-[/mm] für alle [mm]x_+ \in \ H_+[/mm] und [mm]x_- \in \ H_-[/mm]
Für die Richtung [mm] \Leftarrow [/mm] zerlege in <x,y> bzw. <Vx,Vy> jeweils das x und das y in [mm]x_+, x_-, y_+ \ und \ y_-[/mm] und benutze, dass du weisst, wie V auf so einer Zerlegung wirkt. Und benutze die Bilinearität des Skalarproduktes und die Orthogonalität von H_+ und H_-, um die Skalarprodukte zuerst auseinander zu ziehen und dann zu vereinfachen.
Die Richtung [mm] \Rightarrow [/mm] ist etwas schwieriger, denn da muss man sich erstmal das H_+ und H_- definieren.
Setze mal [mm]H_+ := \{x \in H : Vx=x \}[/mm].
Zeige dann zuerst, dass H_+ abgeschlossen ist und setze dann [mm]H_- := H_+^\perp[/mm].
Benutze dann, dass V eine Symmetrie ist, um die Wirkung von V auf H_- zu bestimmen, nämlich dass [mm]Vx=-x \ f"ur \ x \in H_-[/mm].
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:59 So 28.06.2009 | | Autor: | gladice |
Hallo Merle,
danke für deine schnelle Antwort!
Ich denke so bekomme ich das bestimmt hin!
Falls noch Fragen auftreten, melde ich mich morgen nochmal....
Zu deiner Frage: V ist nicht linear...zumindest steht das nicht so vergegeben in der Aufgabe.
Lieben Gruß,
Gladice
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:33 Mo 29.06.2009 | | Autor: | gladice |
Hi nochmal,
mir ist leider nicht klar, wie genau ich das x und y so zerlegen soll, wie du gesagt hast. Das liegt wahrscheinlich daran, dass mir auch nicht klar ist, was genau [mm] H_+ , H_- [/mm] sind...ich kenne solche Bezeichnungen wohl als untere/obere Halbebenen...???
Ich wäre nochmal sehr dankbar für eine kleine Erklärung...bin irgendwie gerade auf den Kopf gefallen...
Lieben Gruß,
Gladice
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:02 Mo 29.06.2009 | | Autor: | Merle23 |
[mm]H_+ \ und \ H_-[/mm] sind Unterräume von H.
Da laut Aufgabe gilt [mm]H_+ \oplus H_- = H[/mm], kannst du jeden Vektor [mm]x \in H[/mm] eindeutig zerlegen in [mm]x = x_+ + x_- \ wobei \ x_+ \in H_+ \ und \ x_- \in H_-[/mm].
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:28 Mo 29.06.2009 | | Autor: | gladice |
Eine kleine Frage habe ich zu deiner Antwort noch..
> Sei H ein Hilbertraum und V:H-->H ein beschränkter Operator.
> Zeigen sie, dass V genau dann eine Isometrie ist, wenn $ V^*V=id $.
Für den adjungierten Operator gilt doch $ <Vx,y> = <x,V^* y> $.
Und V ist Isometrie, wenn $ <x,y> = <Vx,Vy> $.
Beide Richtungen sind eigentlich Einzeiler. Du musst nur das, was du hast....
Und zwar:
Ich habe versucht diese Skalarprodukte umzuformen und auf die gewünsche Form zu bringen, aber so ganz klappt das nicht...
Ich habe irgendwie immer ein V zu viel...
Ich muss die von dir genannten Gleichungen doch umformen, oder habe ich das falsch verstanden?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:29 Mo 29.06.2009 | | Autor: | gladice |
die kleinen punkte an den V sollen Sternchen sein....irgendwie hat das nicht geklapp...
tut mir leid!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:19 Mo 29.06.2009 | | Autor: | Merle23 |
Du kannst einfach auf die Formel draufklicken, dann wird dir angezeigt wie es geschrieben wurde.
Den Stern kriegste so hin: V^\*.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:14 Mo 29.06.2009 | | Autor: | Merle23 |
Ich mache mal einen Teil der einen Richtung:
Sei V eine Isometrie.
Dann gilt für alle x,y aus H: [mm] = = [/mm].
Das erste Gleichheitszeichen gilt, da V eine Isometrie ist, und das zweite, weil das die Definition des adjungierten Operators ist.
Es bleibt also zu zeigen, dass aus obiger Gleichheitskette [mm]V^\* V = id[/mm] folgt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:54 Mo 29.06.2009 | | Autor: | gladice |
Ahh...danke!
Jetzt hab ich es auch verstanden! Hatte voll ein Brett vorm Kopf.
Der Rest ist jetzt klar.
Vielen Dank
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