Selbstadj. Endomorphismen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:45 Do 29.09.2005 | | Autor: | Chlors |
Hallo,
ich habe ein Problem mit folgender Aufgabe:
Sei V ein unitärer Vektorraum, A:V->V ein selbstadjungierter Endomorphismus und [mm] \lambda \in \IR [/mm] . Zeigen Sie, dass Id + i [mm] \lambda [/mm] A
invertierbar ist.
Mir fehlt der Ansatz zu dieser Aufgabe. Kann mir jemand helfen und sagen, was ich dafür verwenden kann/muss??
Vielen Dank.
Liebe Grüße, Conny.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:38 Do 29.09.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Wäre $Id + [mm] i\lambda [/mm] A$ nicht invertierbar, dann wäre
[mm] $i\lambda \cdot \det( [/mm] A - i [mm] \frac{1}{\lambda}Id) [/mm] = [mm] \det(Id [/mm] + i [mm] \lambda [/mm] A)= 0$,
also auch:
[mm] $\det(A [/mm] - i [mm] \frac{1}{\lambda}Id)=0$.
[/mm]
Warum kann das nicht sein, wenn $A$ selbstadjungiert ist?
Tipp: $A$ hat dann nur reelle Eigenwerte... 
Liebe Grüße
Stefan
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