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Schwingungsüberlagerung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:50 Mo 09.07.2007
Autor: ex.aveal

Aufgabe
Bestimmen Sie A und [mm] \alpha_{0} [/mm] aus

i(t) = A sin (wt + [mm] \alpha_{0}) [/mm] = sin (wt) + 2 cos (wt + [mm] \bruch{\pi}{3}) [/mm] + [mm] \wurzel{2} [/mm] sin (wt - [mm] \bruch{\pi}{4}) [/mm]

Hy.

Wir haben leider keinen blassen Schimmer, wie wir an diese Aufgabe rangehen müssen. Wir müssen diese 3 Schwingungen überlagern. Als erstes haben wir den cos natürlich in sin umgewandelt (+90°).
Das wars dann aber auch.

Superposition haben wir in der Formelsammlung nachgeschlagen, kommen aber auch nicht weiter.
Bitte um Hilfe, danke!

        
Bezug
Schwingungsüberlagerung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:22 Mo 09.07.2007
Autor: leduart

Hallo
> Bestimmen Sie A und [mm]\alpha_{0}[/mm] aus
>  
> i(t) = A sin (wt + [mm]\alpha_{0})[/mm] = sin (wt) + 2 cos (wt +
> [mm]\bruch{\pi}{3})[/mm] + [mm]\wurzel{2}[/mm] sin (wt - [mm]\bruch{\pi}{4})[/mm]
>  Hy.
>  
> Wir haben leider keinen blassen Schimmer, wie wir an diese
> Aufgabe rangehen müssen. Wir müssen diese 3 Schwingungen
> überlagern. Als erstes haben wir den cos natürlich in sin
> umgewandelt (+90°).
>  Das wars dann aber auch.

das ist unn;tig, aber egal. die 2 Ausdrücke  :  2 cos (wt +

> [mm]\bruch{\pi}{3})[/mm] und  [mm]\wurzel{2}[/mm] sin (wt - [mm]\bruch{\pi}{4})[/mm]

mit Additionstheorem in sinwt*...  und coswt*... verwandeln.
Dann alles mit sinwt sammeln und mit coswt. dann habt ihr: sinwt*(...)+coswt*(....)=A*sinwt+B*coswt
Wenn ihr ein Zeigerdiagramm kennt zeichnet A*sin als Pfeil und dazu senkrcht B*cos.
die Addition ist ein Pfeil der Länge [mm] \wurzel{A^2+B^2} der [/mm] vor dem sin mit dem Winkel [mm] \alpha [/mm] herläuft, mit [mm] tan\alpha=B/A [/mm]
Wenn ihr mit Pfeiladdition nicht gearbitet habt, muss man Asinwt+Bcoswt auf die Form [mm] C*(sinwtcos\alpa+coswtsin\alpha [/mm] bringen.
dazu [mm] \wurzel{A^2+B^2} [/mm] ausklammern ,
also Asinwt+Bcoswt =  [mm] \wurzel{A^2+B^2}*(A/\wurzel{A^2+B^2}*sinwt [/mm] + B/ [mm] \wurzel{A^2+B^2} [/mm] coswt) was in der Klammer steht kann man jetzt als Additionstheorem sehen , mit B/ [mm] \wurzel{A^2+B^2}=sin\alpha [/mm] und A/ [mm] \wurzel{A^2+B^2}=cos\alpha [/mm]
(Grund, das Quadrat [mm] sin^2\alpha+cos^2\alpha=1; [/mm] drum mussten wir die Wurzel ausklammern!)
so und damit habt ihr [mm] \alpha, [/mm] und dann eben
[mm] Asinwt+Bcoswt= \wurzel{A^2+B^2}*(sinwt+\alpha) [/mm]
fraft nach, wenn noch was unklar is.
Gruss leduart


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