Schwingungsdauer < HochschulPhysik < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
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| Aufgabe | (Mein Problem besteht aus c.) und d.), hier aber die ganze Aufgabe:)
Wir betrachten ein Pendel der Länge l mit Punktmasse m, das sich im homogenen Gravitationsfeld der Stärke |F|=mg befindet. Reibungskräfte werden vernachlässigt. Die Auslenkung von der Gleichgewichtslage wird durch den Winkel [mm] \alpha [/mm] beschrieben.
a.) Wie lautet die Potentielle und die kinetische Energie des Pendels als Funktion von [mm] \alpha [/mm] und [mm] \alpha'.
[/mm]
Zum Zeitpunkt t=0 sei das Pendel um [mm] \alpha_{0} [/mm] ausgelenkt und habe die Geschwindigkeit [mm] \alpha' [/mm] = 0.
b.) Wie groß ist die Gesamtenergie des Pendels?
Zum Zeitpunkt einer Viertel Schwingungsdauer T (also bei T/4) erreicht das Pendel den untersten Punkt, [mm] \alpha [/mm] = 0.
c.) Leite sie ausgehend von der Energierhaltung her: [mm] T = 2 * \wurzel[2]{\frac{2l}{g}} \integral_{0}^{\alpha_{0}}{\frac{d\alpha}{\wurzel[2]{cos \alpha - cos \alpha_{0}}} [/mm]
d.) Formen Sie das Integral um zu [mm] T = 4 * \wurzel[2]{\frac{l}{g}} \integral_{0}^{1}{\frac{dx}{\wurzel[2]{1-x^2}}\frac{1}{\wurzel[2]{1-x_{0}^2x^2}}}[/mm]
Dabei ist [mm]x_{0} = sin (\frac{\alpha_{0}}{2})[/mm]. Benutzen Sie dabei die Substitution [mm]x = \frac{sin (\frac{\alpha}{2})}{x_{0}}[/mm] und dass [mm]cos(\alpha)=2cos^2(\frac{\alpha}{2})-1[/mm] |
Hallo ihr Lieben!
Ich hänge ein bisschen an dieser Riesenaufgabe, hauptsächlich an c.) und d.) - a.) und b.) stimmen hoffentlich.
Das habe ich mir bisher gedacht:
a.) / b.)
Die Höhe kann ich (via l) aus dem Winkel ziehen:
l-h = [mm] (1-cos(\alpha_{0}))*l
[/mm]
Also [mm] E_{p}=mgl(1-cos(\alpha_{0})
[/mm]
Außerdem ist
v = [mm] \omega [/mm] l = [mm] \alpha'l
[/mm]
und damit [mm] E_{k} [/mm] = [mm] 0.5m\alpha'^{2}l^{2}
[/mm]
Bei t=0 ist das [mm] E_{k}=0, [/mm] bei t=T/4 ist [mm] E_{p}=0.
[/mm]
c.)
Damit kann man hier jetzt die Energieerhaltung benutzen. D.h. ich vergleiche t=0 und t=T/4:
[mm] mgl(1-cos(\alpha_{0}) = 0.5m\alpha'^{2}l^{2}[/mm]
[mm] \gdw \wurzel[2]{\frac{2g}{l}} \wurzel[2]{(1-cos(\alpha_{0})} = \alpha'[/mm]
und wenn man das mal von 0 bis T/4 integriert:
[mm] \wurzel[2]{\frac{2g}{l}} \wurzel[2]{(1-cos(\alpha_{0})} * T/4 = \alpha[/mm]
[mm] \gdw 4*\alpha \wurzel[2]{\frac{l}{2g}} \frac{1}{\wurzel[2]{(1-cos(\alpha_{0})}} = T[/mm]
Und dann komme ich nicht weiter.
Also ein anderer Ansatz: der Vergleich von t=0 und 0<t<T/4:
[mm] mgl(1-cos(\alpha_{0}) = mgl(1-cos(\alpha) + 0.5m\alpha'^{2}l^{2}[/mm]
[mm] \gdw \alpha'^{2} = 2g/l * ((1-cos(\alpha_{0}) - (1-cos(\alpha)))[/mm]
[mm] \gdw \alpha' = \wurzel[2]{2\frac{g}{l}} * \wurzel[2]{(cos(\alpha)-cos(\alpha_{0}))}[/mm]
Das sieht doch schonmal sehr danach aus, was ich erreichen soll.
[mm] \alpha(t) [/mm] finde ich jetzt aber nicht, da ichs mit der Trennung der Variablen nicht hinbekomme. Schon das erste Integral [mm] (\Phi [/mm] bei Wikipedia) ist zu kompliziert. Habe ich also im Ansatz etwas falsch?
d.)
Durch die Hilfe komme ich auf
[mm]cos(\alpha)=2cos^2(\frac{\alpha}{2})-1[/mm]
[mm]\gdw cos(\alpha)=2(1-sin^2(\frac{\alpha}{2}))-1[/mm]
[mm]\gdw cos(\alpha)=1-2sin^2(\frac{\alpha}{2})[/mm]
Und wenn ich substituiere ist doch:
[mm]xd\alpha = \frac{dx}{\frac{cos (\frac{\alpha}{2})}{2x_{0}}[/mm]
Aber das ins Integral eingesetzt führt -bei mir- auch nur ins Nichts wegen dem cos [mm] (\frac{\alpha}{2}) [/mm] - Term :(
Ich würde mich also echt super freuen, wenn mir jemand helfen könnte!
Ich habe das Gefühl, dass ich dch eigentlich auch gar nicht so weit weg von der richtigen Lösung bin...
Viele Grüße,
Eure Laura
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:45 Mo 07.05.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
bei c) hast du die Energieerhaltung nicht benutzt, auch in a) hast du [mm] E_{pot} [/mm] nicht allgemein sondern nur mit [mm] \alpha_0 [/mm] hingeschrieben. also schreib [mm] allgemein:E_{pot}(t)+ E_{kin}(t)=E(0)
[/mm]
ich seh grade das hast du schon hingeschrieben, nur der Ausdruck davor ist falsch.
daraus die Dgl fuer [mm] \alpha, [/mm] aufloesen durch Trennen der Variablen. das fuehrt genau auf das angegebene Integral!
in d nur stur ersetzen, natuerlich auch [mm] d\alpha [/mm] durch dx und [mm] sin^2+cos^2=1 [/mm] benutzen.
Gruss leduart
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Hallo leduart,
Vielen Dank für deine Hilfe! Ich habs es aber immer noch nicht ganz geschafft :(
Bei der c.) bekomme ich ja aus der Energierhaltung
[mm] \alpha' = \wurzel[2]{2\frac{g}{l}} \cdot{} \wurzel[2]{(cos(\alpha)-cos(\alpha_{0}))} [/mm]
Und jetzt sage ich analog zu Wikipedia ( http://de.wikipedia.org/wiki/Trennung_der_Variablen ) dass die erste Wurzel mein g(t) ist, und die zweite mein [mm] f(\alpha(t)).
[/mm]
Damit kommt man dann auf das Integral
[mm] \Phi [/mm] = [mm] \integral_{\alpha_{0}}^{\alpha}{\frac{ds}{\wurzel[2]{(cos(s)-cos(\alpha_{0}))}}}
[/mm]
Aber das kann ich nicht weiter bearbeiten, weil ich mir Wurzel unter dem Bruch nicht so richtig klar komme. Mir ist nur noch eingefallen x = [mm] \wurzel[2]{(cos(s)-cos(\alpha_{0}))} [/mm] zu substituieren, aber das hat auch nichts gebracht...
Zur d.)
T = 4 [mm] \cdot{} \wurzel[2]{\frac{l}{g}} \integral_{0}^{1}{\frac{dx}{\wurzel[2]{1-x^2}}\frac{1}{\wurzel[2]{1-x_{0}^2x^2}}}
[/mm]
Hier will ich x = [mm] \frac{sin (\frac{\alpha}{2})}{x_{0}} [/mm] substituieren. Das ist umgeformt [mm] \alpha [/mm] = 2*arcsin [mm] (x_{0}x). [/mm]
Mit der Substitution muss ich also dx = 0,5 * [mm] d\alpha [/mm] * [mm] \wurzel[2]{1-x^2} [/mm] ersetzen, oder etwa nicht?
Weil das geht vom Ausdruck her dann in die richtige Richtung, aber so ganz klappts dann auch nicht. Das [mm]\wurzel[2]{1-x^2}[/mm] kann ich ja nicht wegkürzen, weil ich das x an den anderen Stellen schon ersetzt habe.
Wäre jemand so lieb mir auf die Sprünge zu helfen? Bei c.) fällt mir der richtige Ansatz für das Integral nicht, bei d.) hab ich vielleicht ja nur einen Denkfehler bei der Substitution drin.
Ich würde mich über jede Hilfe freuen 
Viele Grüße,
Eure
Laura
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:16 Mo 07.05.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo> Hallo leduart,
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> Vielen Dank für deine Hilfe! Ich habs es aber immer noch
> nicht ganz geschafft :(
>
>
>
> Bei der c.) bekomme ich ja aus der Energierhaltung
> [mm]\alpha' = \wurzel[2]{2\frac{g}{l}} \cdot{} \wurzel[2]{(cos(\alpha)-cos(\alpha_{0}))}[/mm]
das fuehrt doch zu [mm] d\alpha /(\wurzel[2]{2\frac{g}{l}} \cdot{} \wurzel[2]{(cos(\alpha)-cos(\alpha_{0}))})=dt
[/mm]
und auf beiden seiten integriert zu dem angegebenen Integral.
> Und jetzt sage ich analog zu Wikipedia (
> http://de.wikipedia.org/wiki/Trennung_der_Variablen ) dass
> die erste Wurzel mein g(t) ist, und die zweite mein
> [mm]f(\alpha(t)).[/mm]
>
> Damit kommt man dann auf das Integral
>
> [mm]\Phi[/mm] =
> [mm]\integral_{\alpha_{0}}^{\alpha}{\frac{ds}{\wurzel[2]{(cos(s)-cos(\alpha_{0}))}}}[/mm]
ich hab wiki nicht angeseehen, aber das ist sicher falsch.
> Aber das kann ich nicht weiter bearbeiten, weil ich mir
> Wurzel unter dem Bruch nicht so richtig klar komme. Mir ist
> nur noch eingefallen x =
> [mm]\wurzel[2]{(cos(s)-cos(\alpha_{0}))}[/mm] zu substituieren, aber
> das hat auch nichts gebracht...
loesen sollst du das erst in d) und da steht doch wie du substituieren sollst? warum versuchst du was voellig anderes?
mach mal die vorgeschlagene Substitution, und sag, wo du scheiterst.
Gruss leduart
>
>
>
> Zur d.)
>
> T = 4 [mm]\cdot{} \wurzel[2]{\frac{l}{g}} \integral_{0}^{1}{\frac{dx}{\wurzel[2]{1-x^2}}\frac{1}{\wurzel[2]{1-x_{0}^2x^2}}}[/mm]
>
> Hier will ich x = [mm]\frac{sin (\frac{\alpha}{2})}{x_{0}}[/mm]
> substituieren. Das ist umgeformt [mm]\alpha[/mm] = 2*arcsin
> [mm](x_{0}x).[/mm]
> Mit der Substitution muss ich also dx = 0,5 * [mm]d\alpha[/mm] *
> [mm]\wurzel[2]{1-x^2}[/mm] ersetzen, oder etwa nicht?
> Weil das geht vom Ausdruck her dann in die richtige
> Richtung, aber so ganz klappts dann auch nicht. Das
> [mm]\wurzel[2]{1-x^2}[/mm] kann ich ja nicht wegkürzen, weil ich
> das x an den anderen Stellen schon ersetzt habe.
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> Wäre jemand so lieb mir auf die Sprünge zu helfen? Bei
> c.) fällt mir der richtige Ansatz für das Integral nicht,
> bei d.) hab ich vielleicht ja nur einen Denkfehler bei der
> Substitution drin.
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> Ich würde mich über jede Hilfe freuen
>
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> Viele Grüße,
> Eure
> Laura
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