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| Aufgabe | Die Erde wird als homogene Kugel von konstanter Dichte betrachtet. Dir Erdbeschleunigung ist im Erdmittelpunkt Null und nimmt linear mit dem Abstand vom Erdmittelpunkt zu. In Köln wird ein schnurgerades Loch durch den Erdmittelpunkt bis zum Antipodenpunkt auf der Südhalbkugel gebohrt. Dann wird eine Kugel in das Loch fallengelassen. Reibungskräfte werden vernachlässigt.
a)Bestimmen sie für das Erdinnere die Schwerkraft als Funktion des Abstandes vom Erdmittelpunkt.
b)Wie lange braucht die Kugel bis zur Ankunft am Ende des Loches auf der Südhalbkugel?
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Hi,
ich konnte die Aufgabe lösen, habe aber trotzdem noch eine Frage zu Aufgabenteil b).
Ergebnis a): [mm] g_{(x)}=\bruch{g}{R_{E}}*x
[/mm]
Aufgabenteil b):
2. Newtonsches Axiom: [mm] x''=\bruch{g}{R_{E}}*x
[/mm]
Das entspricht der Schwingungs DGL mit [mm] w^{2}=\bruch{g}{R_{E}} [/mm]
bisschen umformen usw. Ergebnis: 42,19min
Das klappt wunderbar und ist auch das richtige Ergebnis.
Jetzt zu meiner Frage:
Kann ich nicht nach dem Aufstellen des 2. Newtonschen Axions mit dem Lösungsansatz der DGL weiterrechnen und müsste aufs gleiche Ergebnis kommen? z.B. so:
[mm] x''=\bruch{g}{R_{E}}*x
[/mm]
Lösungsansatz: [mm] x_{t}=Acos(wt+\alpha)
[/mm]
und in meinem Fall: [mm] x_{t}=R*cos(\wurzel{\bruch{g}{R_{E}}}*t)
[/mm]
Ok, wenn ich jetzt die Zeit bis zur Ankunft am anderen Ende des Loches wissen will, kann ich doch einfach für [mm] x_{t}=-R [/mm] setzen. Daraus folgt dann [mm] -1=cos(\wurzel{\bruch{g}{R_{E}}}*t). [/mm] D.h. [mm] \wurzel{\bruch{g}{R_{E}}}*t=\pi. [/mm] Ist das soweit richtig???
Wenn ich das nach t auflöse bekomme ich allerdings was falsches raus. Kann mir da bitte jemand helfen?
Ach ja nochwas. Ich habe in meiner Formelsammlung 2 Lösungsansätze für die Schwingungs DGL. Einmal den oben genannten und einmal diesen hier:
[mm] x_{t}=A*cos(wt)+B*sin(wt)
[/mm]
Wann benutzt man welchen Lösungsansatz?
Vielen Dank für Eure Hilfe!!!!!!!
Gruß
Bernd
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Hallo!
Grundlage dieser Aufgabe ist auf jeden Fall die Schwingungsgleichung, die du da mit
[mm] x''=\frac{g}{R}x
[/mm]
angegeben hast.
Die Lösung muß zwei Parameter enthalten, weil es eine 1D-DGL 2. Ordnung ist : [mm] $1\cdot [/mm] 2=2$
Eine Lösung wäre [mm] x(t)=A\sin(\omega t)+B\cos(\omega [/mm] t)
oder das hier: [mm] x(t)=C\cos(\omega t+\phi)
[/mm]
Beide Lösungen sind gleichwertig und lassen sich über die Additionstheoreme ineinander überführen.
Die erste kennt man daher, daß man durch Probieren recht schnell rausbekommen hat, daß sowohl SIN als auch COS ne Lösung ist.
Die zweite ist oft einfacher bzw anwendungsfreundlicher, weil sie als Parameter direkt die Phasenverschiebung enthält, die sich sonst etwas unhandlich in A und B versteckt.
Es liegt an dir, welchen Ansatz du verwendest.
Nun gibt es hier eine Anfangsbedingung: Für t=0 soll der Start am höchsten Punkt erfolgen. Das nagelt einen Parameter fest, und zwar A=0 oder [mm] \phi=0 [/mm] .
Sowas macht man auch recht häufig, ohne, daß es explizit in der Aufgabe steht, weil's physikalisch irrelevant und rechnerisch einfacher ist.
Jetzt zu deiner Lösung:
Vorgegeben ist einfach die Formel [mm] \omega^2=\frac{g}{R}
[/mm]
Das ist einfach die bekannte Lösung für die o.g. Differenzialgleichungen, man muß das Rad ja nicht immer neu erfinden.
Es folgt nun, daß
[mm] \omega=\wurzel{\frac{g}{R}}
[/mm]
[mm] \frac{2\pi}{T}=\wurzel{\frac{g}{R}}
[/mm]
[mm] T=2\pi\wurzel{\frac{R}{g}}
[/mm]
Das ist die Periode, gesucht wird in der Aufgabe jedoch nach der halben Periode [mm] T_h=\pi\wurzel{\frac{R}{g}}
[/mm]
Das ist das gleiche, wie in deiner Lösung:
[mm] \wurzel{\bruch{g}{R_{E}}}\cdot{}t=\pi
[/mm]
[mm] t=\pi \wurzel{\bruch{R_E}{g}}
[/mm]
Also: Verrechnet?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:00 So 31.08.2008 | | Autor: | berndbrot |
Danke für die gute Antwort!!!!!!!
Ja, hab mich verrechnet. Erdmasse anstelle des Erdradius eingesetzt -wie bekloppt!
Danke nochmal!
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