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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:12 Sa 15.01.2005 | | Autor: | Zai-Ba |
Hi Ihr Mathecracks,
ich bin grad' im Physikforum am erklären und hab da nen Problem mit dem Umstellen einer Gleichung *rot-werd*
Originalgleichung lautet:
[mm] I=I_{0}*e^{-\alpha}
[/mm]
Ziel ist :
[mm] \alpha(I, I_{0})=...
[/mm]
Ein Ansatz war:
[mm] I=I_{0}*e^{-\alpha} [/mm] |ln()
[mm] ln(I)=ln(I_{0})*(-\alpha)
[/mm]
[mm] \alpha=-\bruch{ln(I)}{ln(I_{0})}
[/mm]
mit eingesetzten Werten folgt: [mm] \alpha\approx-2,025 [/mm] (Physikalisch unmöglich)
Der andere Ansatz:
[mm] I=I_{0}*e^{-\alpha} [/mm] | [mm] *e^{\alpha}
[/mm]
[mm] I*e^{\alpha}=I_{0} [/mm] | ln()
[mm] \alpha*ln(I)=ln(I_{0})
[/mm]
[mm] \alpha=\bruch{ln(I_{0})}{ln(I)}
[/mm]
mit eingesetzten Werten folgt: [mm] \alpha\approx0,49 [/mm]
Hier ist grad' noch nen Vorschlag aufgetaucht:
[mm] I=I_{0}*e^{-\alpha}
[/mm]
[mm] \bruch{I}{I_{0}}=e^{-\alpha}
[/mm]
[mm] \alpha=-ln(\bruch{I}{I_{0}})
[/mm]
Wo liegt(liegen) denn in welcher Umformung der(die) Fehler?!
...und wie geht's richtig?!
Danke, Zai-Ba
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:44 Sa 15.01.2005 | | Autor: | Clemens |
Hallo liebe Physiker!
> ich bin grad' im
> Physikforum am erklären
> und hab da nen Problem mit dem Umstellen einer Gleichung
> *rot-werd*
>
> Originalgleichung lautet:
> [mm]I=I_{0}*e^{-\alpha}
[/mm]
> Ziel ist :
> [mm]\alpha(I, I_{0})=...
[/mm]
>
> Ein Ansatz war:
> [mm]I=I_{0}*e^{-\alpha}[/mm] |ln()
> [mm]ln(I)=ln(I_{0})*(-\alpha)
[/mm]
Ihr müsst etwas strenger mit der Reihenfolge von Funktionen umgehen. Auf der rechten Seite der noch nicht bearbeiteten Gleichung in Zeile 1 steht ja ein Produkt, also im Prinzip der Wert der zweistelligen Funktion *. Jetzt wendet ihr auf beide Seiten der Gleichung die Funktion ln an. Dann darf sich die Reihenfolge nicht verändern, das heißt weiterhin bildet ihr zuerst das Produkt und dann den Wert unter der Funktion ln und nicht erst die Funktionswerte der Faktoren unter ln und dann das Produkt dieser Funktionswerte:
[mm] ln(I) = ln(I_{0}*e^{-\alpha}) [/mm]
Nun gibt es aber zum ln eine Funktionalgleichung ähnlich wie bei der Exponentialfunktion:
[mm] ln(a*b) = ln(a) + ln(b), a,b \in \IR_{+} [/mm]
Es gilt auch:
[mm] ln(a^{b}) = b*ln(a), a \in \IR_{+} [/mm]
Verwendet man diese Erkenntnis, ergibt sich:
[mm] ln(I) = ln(I_{0}) + ln(e^{-\alpha}) [/mm]
Je nach Definition der ln-Funktion ergibt sich dann auf einfachem oder schwierigem Wege:
[mm] ln(I) - ln(I_{0}) = -\alpha [/mm]
Wir folgern:
[mm] \alpha = ln(\bruch{I_{0}}{I}) [/mm]
> Der andere Ansatz:
> [mm]I=I_{0}*e^{-\alpha}[/mm] | [mm]*e^{\alpha}
[/mm]
> [mm]I*e^{\alpha}=I_{0}[/mm] | ln()
> [mm]\alpha*ln(I)=ln(I_{0})
[/mm]
Hier habt ihr wieder den gleichen Fehler gemacht.
> Hier ist grad' noch nen Vorschlag aufgetaucht:
> [mm]I=I_{0}*e^{-\alpha}
[/mm]
> [mm]\bruch{I}{I_{0}}=e^{-\alpha}
[/mm]
> [mm]\alpha=-ln(\bruch{I}{I_{0}})
[/mm]
Das ist richtig, denn [mm] -1*ln(\bruch{I}{I_{0}}) [/mm] = [mm] ln((\bruch{I}{I_{0}})^{-1}) [/mm] = [mm] ln(\bruch{I_{0}}{I}) [/mm]
Gruß Clemens
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:50 Sa 15.01.2005 | | Autor: | Zai-Ba |
Danke Clemens,
hatte irgendwie seine Berechtigung mit dem *rot-werd*
DAnke für die schnelle Nachricht, ich geh' mir jetzt nen Türrahmen suchen um den Kopf dagegen zu hauen 
cya, Zai-Ba
PS: Aua!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:26 Sa 15.01.2005 | | Autor: | Marcel |
Hallo Zai-Ba,
hoffentlich hast du jetzt keine allzu große Beule an deinem Kopf. Sowas macht man aber auch nicht. ![[grins]](/images/smileys/grins.gif "[grins]")
Aber unabhängig davon kommt mir deine Aufgabe doch sehr bekannt vor; vermutlich meintest du diesen Rechenweg, den ich vorgeschlagen hatte:
https://matheraum.de/read?i=36461
Okay, da hatte ich vielleicht nochmal erwähnen sollen, dass der [mm] $\ln$ [/mm] die Umkehrfunktion von der Exponentialfunktion [mm] ($exp(x)=e^x$) [/mm] ist und daher:
[mm]\ln(e^{-\alpha})=\ln(exp(-\alpha))=-\alpha[/mm] gilt.
Viele Grüße,
Marcel
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