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Hallo!
Ich hab hier eine Aufgabe, bei ich nicht ganz genau weiß, wie ich da vorgehen soll:
Die Länge eines Vektors ||x|| im euklidischen Vektorraum [mm] \IR^{n} [/mm] wird auch als Norm von x bezeichnet. Sei nun die Norm einer MAtrix [mm] A=(\alpha_{ik}) \in \IR^{n,n} [/mm] definiert durch:
||A|| = [mm] \wurzel{ \summe_{i,k=1}^{n}(\alpha_{ik})^{2}}
[/mm]
a) Jetzt soll ich für A [mm] \in \IR^{2,2} [/mm] und x [mm] \in \IR^{2} [/mm] mit kanonischem Skalarprodukt die Schwarze Ungleichung ||Ax|| [mm] \le [/mm] ||A|| ||x|| beweisen:
Ich habe mir folgendes gedacht:
||A|| ist definiert als die die 2-Norm, also [mm] ||A||_{2}= (\summe_{i,k=1}^{n}(\alpha_{ik})^{2})^{ \bruch{1}{2}}, [/mm] oder? Also kann ||A|| nur [mm] \ge [/mm] 0 sein.
Kann mir jmd. Tipps geben, wie ich bei der Aufgabe vorgehen soll?
So muss es doch gehen: [mm] ||Ax||=||\summe_{i,k=1}^{n}(\alpha_{ik})x||, [/mm] und weil A eine Matrix ist und x ein Vektor, kann man A und x ausmultiplizieren. Aber wie zeig ich jetzt die Ungleichung?
b) Man führe den Beweis für allgemeine Dimension n durch.
Ich habe mir zu folgender Aufgabe gedacht, dass aus der 2-Norm eine n-Norm wird, oder? Und das man den gleichen Bewies nur für n statt für 2 macht ,oder?
Danke für die Hilfe.
wetterfrosch
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:57 Mo 25.04.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo wetterfrosch!
![[guckstduhier]](/images/smileys/guckstduhier.gif "[guckstduhier]") hier
Viele Grüße
Stefan
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:09 Mo 25.04.2005 | | Autor: | Floyd |
[mm] ||Ax||_{2} \le ||A||_{F} ||x||_{2}
[/mm]
[mm] (||Ax||_{2})^{2} [/mm] =
[mm] \summe_{i=1}^{m} [/mm] abs( [mm] \summe_{i=1}^{n} a_{ik}x_{k} )^{2} \le
[/mm]
[mm] \summe_{i=1}^{m} [/mm] ( [mm] \summe_{i=1}^{n} abs(a_{ik}x_{k}))^{2} \le
[/mm]
[mm] \summe_{i=1}^{m} [/mm] ( [mm] \summe_{i=1}^{n} (a_{ik})^2 [/mm] * [mm] \summe_{i=1}^{n} (x_{k})^2 [/mm] ) =
[mm] (||x||_{2})^2 [/mm] * [mm] \summe_{i=1}^{m} \summe_{i=1}^{n} (a_{ik})^2
[/mm]
=>
[mm] ||Ax||_{2} \le ||x||_{2} [/mm] * [mm] \wurzel[]{\summe_{i=1}^{m} \summe_{i=1}^{n} (a_{ik})^2} \le
[/mm]
[mm] ||x||_{2} ||Ax||_{F}
[/mm]
mfg
Floyd
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