Schwaches Gesetz großen Zahlen < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:48 Di 10.06.2008 | | Autor: | Nette20 |
| Aufgabe | Es seien [mm] X_1, [/mm] ..., [mm] X_n [/mm] stochastisch unabhängige Bernoulli-Experimente auf einem diskreten W'raum [mm] (\Omega, P(\Omega), [/mm] P) mit Erfolgswahrscheinlichkeit p [mm] \in [/mm] [0,1].
Folgere aus dem schwachen Gesetz der großen Zahlen: Für t >0 gilt:
P({ [mm] |\bruch{X_1+...+X_n}{n}-p| |
Hallo!
Kann ich das wirklich so beweisen?
P({ [mm] \omega|(\overline{X}_n(\omega)-\mu)\ge\varepsilon [/mm] } [mm] \le\bruch{Var X_1}{n\varepsilon^2} \overrightarrow{n -> \infty} [/mm] 0
[mm] E[\overline{X}]=\bruch{1}{n} [/mm] * [mm] \summe_{i=1}^{n}E[X_i]=\mu [/mm] = [mm] \bruch{1}{n}*pn [/mm] = p
P{ [mm] |\overline{x}-p| \ge \varepsilon [/mm] } [mm] \le \bruch{p(1-p)}{n\varepsilon^2}
[/mm]
P{ [mm] |\overline{x}-p| [/mm] < [mm] \varepsilon [/mm] } [mm] \ge 1-\bruch{p(1-p)}{n\varepsilon^2} [red]\ge[/red] 1-\bruch{1}{4n\varepsilon^2}
[/mm]
[mm] Var(\overline{X})=\bruch{1}{n^2}*\summe Var(X_i) [/mm] = [mm] \bruch{Var(X_i)}{n} [/mm] = [mm] \bruch{n*p(1-p)}{n} [/mm] = p(1-p)
[mm] [red]\ge[/red] [/mm] Wieso kann ich das einfach so annehmen?
Und wo ist das t aus der Aufgabenstellung?
Vielen Dank!
Liebe Grüße
Janett
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:00 Mi 11.06.2008 | | Autor: | Blech |
[mm] $1-\bruch{p(1-p)}{n\varepsilon^2} \ge 1-\bruch{1}{4n\varepsilon^2}$
[/mm]
> [mm][red]\ge[/red][/mm] Wieso kann ich das einfach so annehmen?
Kurvendiskussion von p(1-p) auf (0,1). Du hast eine nach unten offene Parabel mit Scheitelpunkt bei (0.5,0.25)
> Und wo ist das t aus der Aufgabenstellung?
[mm] $\varepsilon$
[/mm]
Und für mich liest sich das eher, als würdest Du das Schwache GGZ mit Chebyshev beweisen und nicht andersrum?
ciao
Stefan
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http://de.wikipedia.org/wiki/Gesetz_der_gro%C3%9Fen_Zahlen