Schwache*-Konvergenz < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Man untersuche die Folgen auf schwache*-Konvergenz im Raum [mm] $L^\infty(0,1)$:
[/mm]
a) [mm] $f_k(x)=\sin\left ( \frac{k}{x} \right [/mm] )$ mit [mm] $k\in \mathbb [/mm] N$
b) [mm] $g_k(x)=\sin\left ( \frac{1}{kx} \right [/mm] )$ mit [mm] $k\in \mathbb [/mm] N$ |
Hallo,
die schwache*-Konvergenz ist bei uns so definiert:
"Sei X ein Banachraum. Eine Folge [mm] $(f_k)_k$ [/mm] in $X'$ (Dualraum von $X$) heißt schwach*-konvergent gegen $f [mm] \in [/mm] X'$, wenn [mm] $f_k(x) \to [/mm] f(x)$ gilt für alle $x [mm] \in [/mm] X$."
Man hat also eine punktweise Konvergenz.
Eine Funktion u gehört zum Raum [mm] $L^\infty(\Omega)$, [/mm] wenn sie im Wesentlichen beschränkt ist, d.h. wenn [mm] $$\sup_{x\in \Omega \setminus N}\left | u(x) \right [/mm] | < [mm] \infty$$ [/mm] für jede Nullmenge N gilt.
zu a): Wenn $x$ fest ist echt zwischen 0 und 1, ist die Folge [mm] $f_k(x)$ [/mm] eine ganz normale Sinus-Funktion, die halt (je nach x) mehr oder weniger stark gestaucht ist. Aber es gibt keine punktweise Konvergenz.
zu b) : Hier geht [mm] $g_k(x)$ [/mm] für jedes $x [mm] \in [/mm] (0,1)$ gegen 0. Die Grenzfunktion ist dann einfach die Null-Funktion, oder?
Kann man sagen, dass es keine Grenzfunktion bei a) gibt, daher bei a) keine schwache*-Konvergenz vorliegt, bei b) aber schon?
Gruß,
Kevin
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:20 So 27.11.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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