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Schranke: Vorgehen
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:44 Di 24.04.2012
Autor: Bluma89

Aufgabe
[mm] a_{0}=1, a_{n+1}=\wurzel{a_{n}+2} [/mm]

Zeige durch vollst. Induktion, dass a) [mm] a_{n} [/mm] streng monoton wachsend ist und b) durch 2 beschränkt ist.


a) habe ich bereits erledigt, b) in meinen Augen auch. Allerdings würde ich gerne nachfragen, wie das Mathematikerauge meine Lösung sieht:

[mm] a_{n+1}\le [/mm] 2
[mm] \wurzel{a_{n}+2}\le [/mm] 2
[mm] a_{n}+2\le [/mm] 4
[mm] a_{n}\le [/mm] 2

Kann man auch über Konvergenz gehen? Die Schranke entspricht ja dem Grenzwert, dem sich die Folge annähert?
(über [mm] |a_{n+1}|-g<\varepsilon [/mm] )
(ok, dass 2 dem Grenzwert entspricht ist nicht nachgewiesen)

        
Bezug
Schranke: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:48 Di 24.04.2012
Autor: fred97


> [mm]a_{0}=1, a_{n+1}=\wurzel{a_{n}+2}[/mm]
>  
> Zeige durch vollst. Induktion, dass a) [mm]a_{n}[/mm] streng monoton
> wachsend ist und b) durch 2 beschränkt ist.
>  a) habe ich bereits erledigt, b) in meinen Augen auch.
> Allerdings würde ich gerne nachfragen, wie das
> Mathematikerauge meine Lösung sieht:
>  
> [mm]a_{n+1}\le[/mm] 2
>  [mm]\wurzel{a_{n}+2}\le[/mm] 2
>  [mm]a_{n}+2\le[/mm] 4
>  [mm]a_{n}\le[/mm] 2

Das ist kein Induktionsbeweis !!!

Induktionsanfang: .....

Induktionsvoraussetzung: ....

Induktionsschluß: ......


>  
> Kann man auch über Konvergenz gehen? Die Schranke
> entspricht ja dem Grenzwert, dem sich die Folge annähert?

Das stimmt nicht. Die Folge (1/n) ist eine Nullfolge, aber durch 123456789 nach oben beschränkt.

FRED

>  (über [mm]|a_{n+1}|-g<\varepsilon[/mm] )


Bezug
                
Bezug
Schranke: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:59 Di 24.04.2012
Autor: Bluma89

Ok, wie sieht es hiermit aus:

IA:
[mm] a_{0}=1<2 [/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] wahr

IV:
[mm] a_{n+1}<2 [/mm]

IS:
[mm] a_{n+2}<2 [/mm]
[mm] \wurzel{a_{n+1}+2}<2 [/mm]
[mm] a_{n+1}+2<4 [/mm]
[mm] a_{n+1}<2 [/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] unter Annahme IV: wahr

Bezug
                        
Bezug
Schranke: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:20 Di 24.04.2012
Autor: leduart

Hallo
Dein Beweis ist nicht wirklich falsch, weil man die Schritte umkehren kann,das musst du dann aber zeigen. richtig ist du fängst mit $ [mm] a_{n+1}<2 [/mm] $ an und landest bei
$ [mm] \wurzel{a_{n+1}+2}<2 [/mm] $
Den GW kannst du nicht verwenden, weil du durch mon steigend undnach oben  beschränkt erst feststellst dass einer existiert.
Gruss leduart

Bezug
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