Schnittwinkel Koordinatenebene < Geraden und Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | | Berechnen Sie die Schnittwinkel der Ebene E:6x+3y+2z-1=0 mit den drei Koordinatenebenen. |
Hallo,
habe ich die Aufgabe so richtig gelöst? Ich habe es nur an einer Ebene berechnet, der Rechenweg der beiden anderen ist ja der selbe.
[Dateianhang nicht öffentlich]
[Dateianhang nicht öffentlich]
Andreas
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
|
|
| |
|
> Berechnen Sie die Schnittwinkel der Ebene E:6x+3y+2z-1=0
> mit den drei Koordinatenebenen.
> Hallo,
>
> habe ich die Aufgabe so richtig gelöst?
Ich verstehe nicht, was Du hier machst. Wenn Du den Schnittwinkel [mm] $\alpha$ [/mm] zwischen zwei Ebenen [mm] $E_1, E_2$ [/mm] mit Normalenvektoren [mm] $\vec{n}_1, \vec{n}_2$ [/mm] berechnen willst, dann ist doch
[mm]\cos(\alpha) = \frac{|\vec{n}_1\cdot\vec{n}_2|}{|\vec{n}_1|\cdot |\vec{n}_2|}[/mm]
Wohlgemerkt: der [mm] $\cos$ [/mm] nicht, wie Du schreibst, der [mm] $\sin$. [/mm] Der [mm] $\sin$ [/mm] tritt auf, wenn Du den Winkel [mm] $\alpha$ [/mm] zwischen einer Geraden mit Richtungsvektor [mm] $\vec{v}$ [/mm] und einer Ebene mit Normalenvektor [mm] $\vec{n}$ [/mm] bestimmen möchtest. Dann gilt
[mm]\sin(\alpha) = \frac{|\vec{v}\cdot\vec{n}|}{|\vec{v}|\cdot |\vec{n}|}[/mm]
> Ich habe es nur an
> einer Ebene berechnet, der Rechenweg der beiden anderen ist
> ja der selbe.
Ok, ok. Dein Normalenvektor [mm] $\vec{n}_2$ [/mm] ist auch in der Tat ein Normalenvektor der gegebenen Ebene $E$. Aber was wäre ein Normalenvektor der $xy$-Ebene, [mm] $E_{xy}$? [/mm] - Doch sicher nicht der von Dir angegebene Vektor
[mm]\vec{n}_1=\pmat{6\\3\\0}[/mm]
Dieser ist die Projektion des Vektors [mm] $\vec{n}_2$ [/mm] auf [mm] $E_{xy}$, [/mm] aber gerade darum alles andere als senkrecht zu [mm] $E_{xy}$ [/mm] (vielmehr ist dieser Vektor parallel zu [mm] $E_{xy}$).
[/mm]
Dass Du diesen Fehler machst, deutet darauf hin, dass Du weiterhin das Problem der Berechnung des Winkels zwischen einer Ebene $E$ und der Koordinatenebene [mm] $E_{xy}$ [/mm] mit der Berechnung des Winkels einer Geraden mit Richtungsvektor [mm] $\vec{v}$ [/mm] und [mm] $E_{xy}$ [/mm] verwechselst. Dieser Winkel wäre in der Tat (im Wesentlichen) der Winkel zwischen [mm] $\vec{v}$ [/mm] (d.h. Deinem [mm] $\vec{n}_1$) [/mm] und Deinem [mm] $\vec{n}_2$.
[/mm]
Nein: Ein Normalenvektor von [mm] $E_{xy}$ [/mm] ist etwas weit simpleres, etwa der Vektor
[mm]\pmat{0\\0\\1}[/mm]
Du müsstest also diesen Vektor als [mm] $\vec{n}_1$ [/mm] nehmen und, wie oben erwähnt, den [mm] $\cos$ [/mm] anstelle des [mm] $\sin$ [/mm] (bzw. deren zugehörige Arcusfunktion) verwenden.
>
> [Dateianhang nicht öffentlich]
>
> [Dateianhang nicht öffentlich]
|
|
|
| |
|
Viele Dank für die ausführliche Erklärung. Ich habe da wohl etwas verwechselt.
Ich hoffe meine Rechnung ist nun richtig:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Grüße Andreas
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:19 So 16.12.2007 | | Autor: | weduwe |
ich male halt zur kontrolle der reihe nach hin:
[mm] cos\alpha_{E,x_i}=\frac{6}{7}\quad{ }\frac{3}{7}\quad{ }\frac{2}{7}\quad{ }i=1,2,3
[/mm]
|
|
|
| |
|
> Viele Dank für die ausführliche Erklärung. Ich habe da wohl
> etwas verwechselt.
>
> Ich hoffe meine Rechnung ist nun richtig:
Deine Rechung mag zwar richtig sein, aber ich kann kaum genauer hinschauen, denn wenn ich so etwas wie
[mm]\vec{n}_1=\pmat{6\\3\\0}=\pmat{0\\0\\1}[/mm]
sehe, so dreht sich mir der "mathematische Magen". Das zweite Gleichheitszeichen in der obigen Gleichung kann doch nie und nimmer gelten! - Wirf doch bitte sehr die für dieses Problem ganz unbrauchbare Projektion
[mm]\pmat{6\\3\\0}[/mm]
des Normalenvektors [mm] $\vec{n}_2$ [/mm] der Ebene $E$ ganz weg und schreib nur noch
[mm]\vec{n}_1=\pmat{0\\0\\1}[/mm]
Entsprechende Änderungen sind bei [mm] $\vec{n}_3$ [/mm] und [mm] $\vec{n}_4$ [/mm] nötig.
>
> [Dateianhang nicht öffentlich]
>
> Grüße Andreas
|
|
|
|
