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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:14 So 31.07.2005 | | Autor: | Maiko |
Hallo!
Ich befasse mich gerade mit unserer Probeklausur, um den Ernstfall zu üben.
Ich habe folgende Frage:
Aus der Halbkugel mit dem Radius R und dem Mittelpunkt im Nullpunkt des Koordinatensystems wird der Kegel z< h - h/r * [mm] \wurzel{x^2+y^2} [/mm] (0<h<R) herausgeschnitten.
Unter Benutzung von Bereichsintegralen ist das Volumen des verbleibendes Restkörpers zu berechnen.
Ich habe mir eine Skizze gemacht und sehe eine Kugel. In ihr ist ein Kreiskegel, welcher bis knapp unter der "Kugelhöhe verläuft". Ich habe jetzt mit Hilfe der Zylinderkoordinaten ein dreifach-Integral aufgestellt:
[mm] \integral_{\phi=0}^{2\pi} \integral_{r=0}^{r} \integral_{z=0}^{z=h-h/R * r} [/mm] {r dz dr [mm] d\phi}
[/mm]
Leider komme ich nicht auf das gewünscht Ergebnis:
V= [ [mm] \pi*R^2*(2R-h) [/mm] ] / 3
Was habe ich denn falsch gemacht?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:07 So 31.07.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Maik!
Wenn Du uns weder Dein Ergebnis noch Deinen Rechenweg verrätst, können wir natürlich auch nur schwer sagen, was Du falsch gemacht haben könntest (zumal ich meine Glaskugel gerade verlegt habe  ...).
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:03 So 31.07.2005 | | Autor: | Maiko |
Also ich bin der Meinung, dass ich meinen Rechenweg sowie Ergebnis angegeben habe.
Kannst nochmal schauen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:46 Mo 01.08.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo Maiko!
Hier verläuft einiges unsauber. Bitte verwende demnächst unser Formelsystem!
Ein [mm]r[/mm] muss nämlich im Zähler stehen, was man bei dir nicht erkennen kann. Dann erhält man für das von dir angegebene Integral:
[mm]\int\limits_0^R r2\pi \left( h - \frac{hr}{R} \right)\, dr = \pi R^2h - \frac{2h \pi R^2}{3} = \frac{1}{3} \pi h R^2[/mm],
und damit für das Volumen des Restkörpers:
[mm]V=\frac{2}{3}\pi R^3 - \frac{1}{3} \pi h R^2= \frac{\pi R^2 \cdot (2R -h)}{3}[/mm].
Viele Grüße
Stefan
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