Schnittstellen e-fkt + Stammfk < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:29 Mo 08.04.2013 | | Autor: | zayna |
| Aufgabe 1 | 1) gegeben ist die funktion [mm] f(x)=(2-x)e^{0,5x}. [/mm] Der Graph der Funktion von f, die wendetangente an f und die x-achse schließen eine fläche ein. bestimmen sie das Flächenmaß.
Tipp: Zeigen sie, dass F(X) = [mm] (8-2x)e^{0,5x} [/mm] eine Stammfunktion von f ist. |
| Aufgabe 2 | bei einer anderen aufgabe soll ebenfalls die Stammfunktion gebildet werden und als Tipp wurde wieder gesagt: Zeigen sie, dass G(X)= [mm] \bruch{25}{16} (121-x)e^{0,04x} [/mm] eine Stammfunktion von f ist.
dabei ist [mm] g(x)=6e^{0,04x}-\bruch{1}{16}xe^{0,04x} [/mm] |
zu der 1. Aufgabe habe ich bereits den Wendepunkt und die Wendetangente (t(x)) berechnet, sowie die Nullstelle von f und t.
Jetzt komme ich leider nicht auf die Lösung der Schnittstelle, um das richtige Integralmaß für t(x) und f(x) zu benutzen.
Wenn ich beide Funktionen gleich setze, sieht es folgendermaßen aus:
[mm] 2e^{0,5x}-xe^{0,5x} [/mm] = f(x)=t(x)=0,3679x + 2,2073
meine schritte waren folgende:
[mm] 2e^{0,5x}-xe^{0,5x} [/mm] = f(x)=t(x)=0,3679x + 2,2073 [mm] |+xe^{0,5x} [/mm] | [mm] :e^{0,5x}
[/mm]
2 = 0,3679x +x + 2,2073 |-2,2073 |:1,3679
x=0,1515
laut meiner zeichnung stimmt das aber nicht..dort ist der schnittpunkt bei x=-2
was mache ich falsch?
--------------
Desweiteren:
Ich wollte A = [mm] \integral_{-6}^{-2}{t(x) dx} [/mm] + [mm] \integral_{-2}^{2}{f(x) dx} [/mm] berechnen und bilde aus t und f die Stammfunktion T & F und erhalte:
[mm] T(X)=0,18395x^2+2,2073x [/mm]
[mm] F(X)=4e^{0,5x} [/mm] - [mm] 2e^{0,5x} [/mm] * [mm] 0,5x^2 [/mm]
= [mm] 4e^{0,5x} -e^{0,5x} *x^2
[/mm]
Wenn ich den Tipp anwende bekomme ich jedoch eine ganz ander funktion (f) raus...
F(X) = [mm] (8-2x)e^{0,5x} [/mm] = [mm] 8e^{0,5x} -2e^{0,5x} [/mm] * x
==> [mm] f(x)=4e^{0,5x} -e^{0,5x}
[/mm]
was mache ich falsch?
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zur aufgabe 2:
wenn ich aus g(x) nun die stammfunktion G(X) bilde bekomme ich folgendes raus:
[mm] G(X)=150e^{0,04x}-\bruch{1}{32} x^2 [/mm] * 25 [mm] e^{0,04x} [/mm]
wenn ich jedoch den Tipp anwende und die Stammfunktion ableite erhalte ich aber wieder etwas anderes:
G(X)= [mm] \bruch{25}{16} (121-x)e^{0,04x}
[/mm]
= [mm] \bruch{3025}{16} e^{0,04x} [/mm] - [mm] \bruch{25}{16} xe^{0,04x}
[/mm]
g(x)= [mm] \bruch{121}{16}e^{0,04x} [/mm] - [mm] \bruch{1}{16}e^{0,04x}
[/mm]
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Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo zayna,
> 1) gegeben ist die funktion [mm]f(x)=(2-x)e^{0,5x}.[/mm] Der Graph
> der Funktion von f, die wendetangente an f und die x-achse
> schließen eine fläche ein. bestimmen sie das
> Flächenmaß.
> Tipp: Zeigen sie, dass F(X) = [mm](8-2x)e^{0,5x}[/mm] eine
> Stammfunktion von f ist.
> bei einer anderen aufgabe soll ebenfalls die Stammfunktion
> gebildet werden und als Tipp wurde wieder gesagt: Zeigen
> sie, dass G(X)= [mm]\bruch{25}{16} (121-x)e^{0,04x}[/mm] eine
> Stammfunktion von f ist.
>
> dabei ist [mm]g(x)=6e^{0,04x}-\bruch{1}{16}xe^{0,04x}[/mm]
> zu der 1. Aufgabe habe ich bereits den Wendepunkt und die
> Wendetangente (t(x)) berechnet, sowie die Nullstelle von f
> und t.
Gut: und wie sehen die aus?
>
> Jetzt komme ich leider nicht auf die Lösung der
> Schnittstelle, um das richtige Integralmaß für t(x) und
> f(x) zu benutzen.
Das ist logischerweise der Wendepunkt, den hast du doch schon!
Das folgende ist zwar überhaupt nicht zielführend, ich möchte es aber dennoch kommentieren, weil diese Art von Fehlern sich dank GTR&Co. in letzter Zeit häufen:
>
> Wenn ich beide Funktionen gleich setze, sieht es
> folgendermaßen aus:
>
> [mm]2e^{0,5x}-xe^{0,5x}[/mm] = f(x)=t(x)=0,3679x + 2,2073
>
> meine schritte waren folgende:
>
> [mm]2e^{0,5x}-xe^{0,5x}[/mm] = f(x)=t(x)=0,3679x + 2,2073
> [mm]|+xe^{0,5x}[/mm] | [mm]:e^{0,5x}[/mm]
>
> 2 = 0,3679x +x + 2,2073 |-2,2073 |:1,3679
> x=0,1515
>
> laut meiner zeichnung stimmt das aber nicht..dort ist der
> schnittpunkt bei x=-2
>
> was mache ich falsch?
Ich habe mir das obige gar nicht im Einzelnen angesehen. Dein Fehler besteht darin, diese Gleichung überhaupt lösen zu wollen. Eine Gleichung, in der transzendente und algebraische Elemente vorkommen, kann im allgemeinen niemand analytisch lösen, von daher muss einem spätestens an dieser Stelle auffallen, dass man eine einfacher Möglichkeit übersehen hat, die hier darin besteht, dass man die Lösung schon kennt!
> --------------
>
> Desweiteren:
>
> Ich wollte A = [mm]\integral_{-6}^{-2}{t(x) dx}[/mm] +
> [mm]\integral_{-2}^{2}{f(x) dx}[/mm] berechnen und bilde aus t und f
> die Stammfunktion T & F und erhalte:
>
> [mm]T(X)=0,18395x^2+2,2073x[/mm]
> [mm]F(X)=4e^{0,5x}[/mm] - [mm]2e^{0,5x}[/mm] * [mm]0,5x^2[/mm]
> = [mm]4e^{0,5x} -e^{0,5x} *x^2[/mm]
>
> Wenn ich den Tipp anwende bekomme ich jedoch eine ganz
> ander funktion (f) raus...
> F(X) = [mm](8-2x)e^{0,5x}[/mm] = [mm]8e^{0,5x} -2e^{0,5x}[/mm] * x
> ==> [mm]f(x)=4e^{0,5x} -e^{0,5x}[/mm]
>
> was mache ich falsch?
Was die Fläche angeht, so hast du die Aufgabe völlig missverstanden. Mache dir erst einmal an Hand einer Zeichnung klar, um welche Fläche es geht. Das Integral von -2 bis 2 von f bspw. ergibt im Zusammenhang mit der Aufgabe keinen Sinn. Die Funktion t schließt außerdem mit der x-Achse und der senkrechten Geraden x=-2 eine Fläche in Form eines rechtwinkligen Dreiecks ein. Da brauchst du kein Integral. Berechne die Fläche dieses Dreiecks und ziehe das Stück, welches von f und der x-Achse eingeschlossen wird, davon ab.
>
> -------------------------------------
>
> zur aufgabe 2:
>
> wenn ich aus g(x) nun die stammfunktion G(X) bilde bekomme
> ich folgendes raus:
> [mm]G(X)=150e^{0,04x}-\bruch{1}{32} x^2[/mm] * 25 [mm]e^{0,04x}[/mm]
>
Ich weiß nicht, nach welchen 'Regeln' du hier vorgegangen bist, aber das ist definitiv falsch. Und ich mache jede Wette, dass ihr die partielle Intergation, die so herum notwendig wäre, gar nicht gelernt habt (weil sie leider in der Schule heutzutage nicht mehr gelehrt wird).
> wenn ich jedoch den Tipp anwende und die Stammfunktion
> ableite erhalte ich aber wieder etwas anderes:
>
> G(X)= [mm]\bruch{25}{16} (121-x)e^{0,04x}[/mm]
> = [mm]\bruch{3025}{16} e^{0,04x}[/mm]
> - [mm]\bruch{25}{16} xe^{0,04x}[/mm]
>
> g(x)= [mm]\bruch{121}{16}e^{0,04x}[/mm] - [mm]\bruch{1}{16}e^{0,04x}[/mm]
>
> -----------------------
>
>
Hier hast du vergessen, dass beim zweiten Summand die Produktregel angewendet werden muss.
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:07 Mo 08.04.2013 | | Autor: | zayna |
hallo :) danke schonmal für die antwort:
Zu deinen fragen/anmerkungen:
a) die tangente lautet: t(x)=0,3679x+2,2073 zum WP(-2|1,4715)
-> ich hab mich immer gefragt: wie bekomme ich den schnittpunkt raus und woher weiß ich das der wp = schnittpunkt ist....ich glaube da hatte ich einen mega sprung...ist natürlich logisch, das der WP die "grenze" angibt :-D
d.h ok die Schnittpunktgleichung ist absolut überflüssig!
b) die berechnung der fläche habe ich nicht missverstanden. die überlegung das dreieck auszurechnen hatte ich auch...wollte dann dennoch das Integralmaß nehmen, was ja nun auch funktioniert und nicht verkehrt ist :)
c) nein..die partielle integration hatten wir noch nicht...das weiß unsere mathelehrerin auch. für sollen beim ableiten von G(X) dann einfach einen "nachweis" haben..
d) zu aufgabe 2 -> die liebe produktregel vergessen, da hast du natürlich recht 
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sind meine stammfunktionen zur aufgabe 1 dann falsch?
PS: danke für die schnelle hilfe :)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:20 Mo 08.04.2013 | | Autor: | zayna |
achso..meine letzte frage hat sich ja erübrigt...
also kann ich davon ausgehen, wenn ich irgendwo "xe" stehen habe, dass zumindest ich, keine stammfunktion bilden kann?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:25 Mo 08.04.2013 | | Autor: | Diophant |
Hallo,
> achso..meine letzte frage hat sich ja erübrigt...
>
> also kann ich davon ausgehen, wenn ich irgendwo "xe" stehen
> habe, dass zumindest ich, keine stammfunktion bilden kann?
wenn das
[mm] x*e^x
[/mm]
heißen soll, dann ist es so, wie du sagst. Weshalb aber bemühst du dich nicht um eine sinnvollere Formulierung deiner Fragen?
Gruß, Diophant
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Hallo,
> hallo :) danke schonmal für die antwort:
>
> Zu deinen fragen/anmerkungen:
>
> a) die tangente lautet: t(x)=0,3679x+2,2073 zum
> WP(-2|1,4715)
Diesen Unfug mit dezimalen Näherungen solltest du bei solchen Aufgaben sein lassen. Die Tangente heißt
t: [mm] y=\bruch{1}{e}*x+\bruch{6}{e}
[/mm]
und der Wendpunkt ist
[mm]W \left ( -2 | \frac{4}{e} \right )[/mm]
>
> -> ich hab mich immer gefragt: wie bekomme ich den
> schnittpunkt raus und woher weiß ich das der wp =
> schnittpunkt ist....ich glaube da hatte ich einen mega
> sprung...ist natürlich logisch, das der WP die "grenze"
> angibt :-D
>
> d.h ok die Schnittpunktgleichung ist absolut
> überflüssig!
>
> b) die berechnung der fläche habe ich nicht
> missverstanden. die überlegung das dreieck auszurechnen
> hatte ich auch...wollte dann dennoch das Integralmaß
> nehmen, was ja nun auch funktioniert und nicht verkehrt ist
> :)
Du hast sie falsch verstanden, definitiv, und ich habe auch nicht genau aufgepasst. Es geht um die ins negative Unendliche reichende Fläche zwischen der x-Achse, der Wendetangente und dem Schaubild von f. D.h.: intgeriere f von [mm] -\infty [/mm] bis -2 und ziehe das durch die Wendetangente entstehende Dreieck ab, so ist es jetzt richtig.
Aber nochmals: deine Rechnung ergibt keinerlei Sinn.
>
> c) nein..die partielle integration hatten wir noch
> nicht...das weiß unsere mathelehrerin auch. für sollen
> beim ableiten von G(X) dann einfach einen "nachweis"
> haben..
>
> d) zu aufgabe 2 -> die liebe produktregel vergessen, da
> hast du natürlich recht
>
> -----
> sind meine stammfunktionen zur aufgabe 1 dann falsch?
Das habe ich aus zweierlei Gründen nicht kontrolliert:
- die Stammfunktion von f ist (nach dem erforderlichen Nachweis durch Ableiten) bekannt, die braucht man also nicht nochmals berechnen
- es ist an dieser Stelle unsinnig, für eine Gerade, die schon mit dezimalen Näherungen aufgestellt wurde, auch noch eine Stammfunktion zu berechnen, und wenn ich ehrlich bin: da habe ich an dieser Stelle keine Lust, nachzurechnen.
Es wäre weiterhin ziemlich hilfreich, wenn du dich in deinen Beiträgen um etwas mehr Struktur und Lesbarkeit bemühen würdest. So ist es bspw. generell besser, pro Thread nur eine Aufgabe zu besprechen.
Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:35 Mo 08.04.2013 | | Autor: | zayna |
ich werde mich bemühen nurnoch eine aufgabe zu stellen =)
als Lösung für die Flächenberechnung soll 9,4 raus kommen.
das erhalte ich bei meiner berechnung.
ich hatte verstanden, dass die tangente UND die funktion UND die x-Achse eine funktion einschließen.
d.h für mich, von -6 (schnittpunkt x-achse der tangente) bis 2 (schnittpunkt x-achse funktion) wird eine fläche eingeschlossen.
wenn ich wüsste wie ich eine grafik online stelle würde ich das machen :)
aber was ich sagen wollte: ich hab die aufgabe meiner lehrerin wirklich richtig verstanden und ja das gleiche ergebnis. hatte imo nur probleme mit dem lösungsweg (den ich nicht hatte).
danke für die mühe
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:51 Mo 08.04.2013 | | Autor: | Diophant |
Hallo,
ok, jetzt ist es mir klar, das folgende Bild verdeutlicht nochmals, was gemeint ist:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Gruß, Diophant
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: PNG) [nicht öffentlich]
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