Schnittpunkte Kreis - Grade < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | An welchen Punkten schneidet die Grade die Kugel?
g: [mm] \vec{x}=\vektor{5 \\ 2 \\ 3}+k*\vektor{2 \\ -1 \\ 0} [/mm] K: [mm] [\vec{x}-\vektor{2 \\ 5 \\ 3}]²=25
[/mm]
Meine Lösung:
[mm] [\vektor{5 \\ 2 \\ 3}+k*\vektor{2 \\ -1 \\ 0}-\vektor{2 \\ 5 \\ 3}]²=25
[/mm]
[mm] \gdw [\vektor{3 \\ -3 \\ 0}+k*\vektor{2 \\ -1 \\ 0}]²=25
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] (2k+3)²+(-k-3)²=25
[mm] \gdw [/mm] 4k²+12k+9+k²+6k+9=25
[mm] \gdw [/mm] 5k²+18k+18=25
[mm] \gdw [/mm] 5k²+18k-7=0
[mm] \gdw [/mm] k²+3,6k-1,4=0
p-q-Formel: [mm] k_{1}, k_{2}=-\bruch{3,6}{2}\pm\wurzel{\bruch{3,6^{2}}{4}+1,4}
[/mm]
[mm] k_{1}\approx0,35 k_{2}\approx-3,95
[/mm]
[mm] \vec{x}=\vektor{5 \\ 2 \\ 3}+0,35*\vektor{2 \\ -1 \\ 0}=\vektor{5,7 \\ 1,65 \\ 3}
[/mm]
[mm] \vec{x}=\vektor{5 \\ 2 \\ 3}+(-3,95)*\vektor{2 \\ -1 \\ 0}=\vektor{-2,9 \\ 5,95 \\ 3} [/mm] |
Hallo, kann bitte jemand meine Lösung mal Korrektur lesen? Da die Schnittpunkte aus sehr komischen Zahlen besestehen, bin ich etwas unsicher.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:38 Di 12.02.2008 | | Autor: | abakus |
> An welchen Punkten schneidet die Grade die Kugel?
> g: [mm]\vec{x}=\vektor{5 \\ 2 \\ 3}+k*\vektor{2 \\ -1 \\ 0}[/mm]
> K: [mm][\vec{x}-\vektor{2 \\ 5 \\ 3}]²=25[/mm]
>
> Meine Lösung:
> [mm][\vektor{5 \\ 2 \\ 3}+k*\vektor{2 \\ -1 \\ 0}-\vektor{2 \\ 5 \\ 3}]²=25[/mm]
>
> [mm]\gdw [\vektor{3 \\ -3 \\ 0}+k*\vektor{2 \\ -1 \\ 0}]²=25[/mm]
>
> [mm]\gdw[/mm] (2k+3)²+(-k-3)²=25
> [mm]\gdw[/mm] 4k²+12k+9+k²+6k+9=25
> [mm]\gdw[/mm] 5k²+18k+18=25
> [mm]\gdw[/mm] 5k²+18k-7=0
> [mm]\gdw[/mm] k²+3,6k-1,4=0
> p-q-Formel: [mm]k_{1}, k_{2}=-\bruch{3,6}{2}\pm\wurzel{\bruch{3,6^{2}}{4}+1,4}[/mm]
>
> [mm]k_{1}\approx0,35 k_{2}\approx-3,95[/mm]
> [mm]\vec{x}=\vektor{5 \\ 2 \\ 3}+0,35*\vektor{2 \\ -1 \\ 0}=\vektor{5,7 \\ 1,65 \\ 3}[/mm]
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> [mm]\vec{x}=\vektor{5 \\ 2 \\ 3}+(-3,95)*\vektor{2 \\ -1 \\ 0}=\vektor{-2,9 \\ 5,95 \\ 3}[/mm]
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> Hallo, kann bitte jemand meine Lösung mal Korrektur lesen?
> Da die Schnittpunkte aus sehr komischen Zahlen besestehen,
> bin ich etwas unsicher.
Das sieht doch gut aus! Du hast übrigens eine einfache Kontrollmöglichkeit:
Der Kugelmittelpunkt befindet sich in der "Höhe" z=3, auch deine Gerade befindet sich komplett un dieser Höhe. Alles spielt sich also in einer Parallelebene zur x-y-Ebene ab. Ignoriere die z-Koordinate und zeichne einen Kreis mit M(2|5) und r=5 in ein x-y-Koordinatensystem. Die Gerade geht durch den Punkt (5|2) mit dem Richtungsvektor [mm] \vektor{2 \\ -1}.
[/mm]
Dann kannst du die Schnittpunkte ablesen.
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