Schnittpunktbestimmung v. log < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | f(x)=2^(x-2)
f(x)=8^(x-2)+4^(x-2) |
Ich komme einfach nicht darauf wie ich diese Aufgabe lösen soll.
Ich bin das ganze einmal so angegangen:
2^(x-2)=8^(x-2)+4^(x-2)
lg2^(x-2)=lg8^(x-2)+lg4^(x-2)
(x-2)lg2=(x-2)lg8+(x-2)lg4
0=(x-2)(lg8+lg4-lg2)
0=(x-2)(lg32/lg2)
0=x(lg32/lg2)-2(lg32/lg2)
2(lg32/lg2)=x(lg32/lg2)
x=2
Da ich aber einen grafikfähigen Taschenrechner habe, weiß ich das für x=1.3057581 rauskommen muss. Kann mir jemand meinen Fehler, bzw. einen besseren Rechenweg zeigen. Wäre super nett.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:41 Di 22.04.2008 | | Autor: | alexwie |
Hi
Der trick dabei ist dass du 8 als [mm] 2^{3} [/mm] siehst bzw 4 als [mm] 2^{2}. [/mm] Wenn du dann die zwei funktionen gleichsetzt dann kannst du [mm] 2^{x-2} [/mm] herausheben und dann den logarithmus anwenden. So müsstest du dann auf die Lösung kommen.
PS: Du hattest einen Fehler in deinem Lösungsweg weil [mm] log(8^{(x-2)}+4^{(x-2)})\not= log(8^{(x-2)})+log(+4^{(x-2)})
[/mm]
Lg Alex
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Also hab das jetzt leider immer noch nicht lösen können. Vielleicht könntest du mir die ersten Schritte vorrechenen, damit ich sehe wie ich weiter komme.
Und woher hast du diesen Ausdruck, bzw was habe ich falsch berechnet. Ist es direkt der erste Schritt den ich gemacht habe? Also das nur der Teil hinter deinem Ungleichheitszeichen bei mir falsch ist? $ [mm] log(8^{(x-2)}+4^{(x-2)})\not= log(8^{(x-2)})+log(+4^{(x-2)}) [/mm] $
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:57 Di 22.04.2008 | | Autor: | Blech |
> Also hab das jetzt leider immer noch nicht lösen können.
> Vielleicht könntest du mir die ersten Schritte vorrechenen,
> damit ich sehe wie ich weiter komme.
Wieso nimmst Du nicht seinen Rat zu Hilfe, schreibst 8 und 4 um und schaust, was rauskommt. Dann überlegst Du Dir, wie Du die zweite Hälfte seines Tips umsetzen könntest (d.h. [mm] $2^{x-2}$ [/mm] ausklammern) und erzählst uns, woran Du scheiterst.
>
> Und woher hast du diesen Ausdruck, bzw was habe ich falsch
> berechnet. Ist es direkt der erste Schritt den ich gemacht
> habe?
Ja:
[mm] $2^{x-2}=8^{x-2}+4^{x-2}$
[/mm]
Jetzt kannst Du auf beiden Seiten den Logarithmus nehmen:
[mm] $\lg(2^{x-2})=\lg( 8^{x-2}+ 4^{x-2} [/mm] ) $
Aber bei Dir wird daraus:
[mm] $\lg(2^{x-2})=\lg(8^{x-2})+\lg(4^{x-2})$
[/mm]
Es gilt [mm] $\lg(a+b)\neq \lg [/mm] a + [mm] \lg [/mm] b$, egal, was Du für a und b einsetzt. (Bsp.: $a=b=1;\ [mm] \log(1+1)=\log 2\neq \log [/mm] 1 + [mm] \log [/mm] 1 = 0$ )
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Ok, habe jetzt weiter ausprobiert und bin soweit gekommen:
[mm] 2^{x-2}=(2^3)^{x-2}+(2^2)^{x-2}
[/mm]
2^(x-2)=2^(3x-6)+2^(2x-4)
0=2^(x-2)(2^(2x-4)+2^(x-2)-1)
somit muss entweder 2^(x-2)=0 (geht nicht)
oder (2^(2x-4)+2^(x-2)-1)=0
Und jetzt komme ich wieder nicht weiter, da ich nicht weiß wie ich (2^(2x-4)+2^(x-2)=1 lösen soll.
Sorry, hab noch nie in so ein Forum gepostet, aber danke für die Hilfe bis jetzt.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:01 Di 22.04.2008 | | Autor: | Blech |
> Ok, habe jetzt weiter ausprobiert und bin soweit gekommen:
>
> [mm]2^{x-2}=(2^3)^{x-2}+(2^2)^{x-2}[/mm]
> 2^(x-2)=2^(3x-6)+2^(2x-4)
[mm] $(2^2)^{x-2}=2^{2*(x-2)}$
[/mm]
Aber das Produkt im Exponenten ($2*(x-2)$) ist ja kommutativ (d.h. $2*(x-2)=(x-2)*2$).
Oder anders ausgedrückt, es gibt keinen Grund, warum wir die Rollen von dem 2er und dem (x-2) nicht vertauschen können:
[mm] $(2^2)^{x-2}= 2^{2*(x-2)}=(2^{x-2})^2$
[/mm]
EDIT: Taucht hier nicht auf, aber trotzdem wichtig: [mm] $a^{(b^c)}\neq \left(a^b\right)^c=a^{(b*c)}$ [/mm] für fast alle a,b,c. Wollt ich nur mal gesagt haben =)
d.h. Deine Gleichung ist:
[mm] $2^{x-2}=(2^{x-2})^2+(2^{x-2})^3$
[/mm]
Jetzt nennen wir mal [mm] $2^{x-2}$ [/mm] "y".
Egal, was wir für x einsetzen, [mm] $y=2^{x-2}$ [/mm] ist immer eine (positive) Zahl und wir können mit ihr ganz normal rechnen:
[mm] $y=y^2+y^3$
[/mm]
Such Dir die y, die die Gleichung erfüllen, und berechne dann aus denen x. =)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:24 Di 22.04.2008 | | Autor: | Nemesis86 |
Yepp, jetzt hab ich es raus. Tausend mal danke... Viel zu kompliziert gedacht *g*
Also nochmal danke und tschö
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