Schnittpunkt zweier Geraden < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:06 Mo 21.02.2005 | | Autor: | Shinji |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo, ich habe mal eine Frage:
Gegeben sind die Gerade g und h, gesucht wird der Schnittpunkt:
g: [mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \vektor{-2 \\ 8 \\ 8} [/mm] + [mm] \lambda [/mm] * [mm] \vektor{2 \\ -6 \\ -6}
[/mm]
h: [mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \vektor{6 \\ -1 \\ -6} [/mm] + [mm] \mu [/mm] * [mm] \vektor{-4 \\ -3 \\ 6}
[/mm]
durch gleichsetzen erhält man:
[mm] \vektor{-2 \\ 8 \\ 8} [/mm] + [mm] \lambda [/mm] * [mm] \vektor{2 \\ -6 \\ -6} [/mm] = [mm] \vektor{6 \\ -1 \\ -6} [/mm] + [mm] \mu [/mm] * [mm] \vektor{-4 \\ -3 \\ 6}
[/mm]
zunächst versuche ich [mm] \mu [/mm] auszurechnen, indem ich ein Gleichungssystem aufstelle, dass aus 3 Gleichungen besteht:
(1): -2 + 2 * [mm] \lambda [/mm] = 6 - 4 * [mm] \mu
[/mm]
(2): 8 - 6 * [mm] \lambda [/mm] = -1 - 3 * [mm] \mu
[/mm]
(3): 8 - 6 * [mm] \lambda [/mm] = -6 + 6 * [mm] \mu
[/mm]
Gleichung (2) und (3) fasse ich dann mit Substraktionsverfahren so zusammen:
0 = 5 - 9 * [mm] \mu [/mm] <=> [mm] \mu [/mm] = [mm] \bruch{5}{9}
[/mm]
setze ich jetzt [mm] \mu [/mm] = [mm] \bruch{5}{9} [/mm] in die Gleichungen (1), (2) und (3) ein.
bekomme ich
bei (1) für [mm] \lambda [/mm] = 2 [mm] \bruch{8}{9}
[/mm]
bei (2) für [mm] \lambda [/mm] = 1 [mm] \bruch{7}{9}
[/mm]
bei (3) für [mm] \lambda [/mm] = 1 [mm] \bruch{7}{9}
[/mm]
Da der Lambda-Wert bei (1) ein anderer ergibt, müsste es rechnerisch somit keinen Schnittpunkt geben. Zeichnerisch gibt es allerdings einen. Wo könnte der Fehler liegen? Gibt es irgendeine Möglichkeit auf den Schnittpunkt zu kommen?
Danke, Alexander alias Shinji
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:00 Mo 21.02.2005 | | Autor: | moudi |
Hallo Alexander
Ich habe deine Rechnung nachgecheckt sie stimmt. Wenn also in der Aufgabestellung kein Verschreiber ist, dann sind g und h windschief.
Allerdings nimmt mich wunder, wie du "zeichnerisch" feststellen kann, dass sich die beiden Geraden schneiden. Hast du die Geraden im Zweitafelverfahren (Grund- und Aufriss der beiden Geraden) gezeichnet? Oder hast du nur in einem Würfelschrägbild die Geraden eingezeichnet.
Das Problem ist, dass man eine 3-dimensionale geometrische Situation auf einem 2-dimensionalen Blatt darstellen will. Hat man nur ein Würfelschrägbild, dann schneiden sich die Geraden scheinbar immer auf dem Blatt, aber meistens nicht in "Wirklichkeit" (kannst du die Schnittpunktkoordinaten auf deiner Zeichnung "ablesen"?)
Zeichnest du hingegen Grund- und Aufriss der beiden Geraden, dann lässt sich feststellen ob die Geraden sich wirklich schneiden, wenn nämlich die "scheinbaren" Schnittpunkte in beiden Rissen genau senkrecht übereinander liegen (oben Aufriss, unten Grundriss).
mfG Moudi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:17 Mo 21.02.2005 | | Autor: | Shinji |
Kann mir einer sagen, wie das Zweitafelverfahren bei solchen Aufgaben allgemein funktioniert? Ich bin in allem was mit zeichnen in mathe zu tun hat ziemlich schlecht. Deshalb erkenn ich in nem 3D-Koordinatensystem wahrscheinlich auch einen Schnittpunkt, obwohl da keiner is.
Auf jeden Fall erst ma danke für die schnelle Antwort und ich hoffe mir kann einer bei der neuen Frage helfen.
Alexander
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:39 Mo 21.02.2005 | | Autor: | moudi |
Hallo Alexander
Beim Zweitafelverfahren zeichnet man zwei Koordinatensysteme unterreinander wie folgt:
Oberes Koordinatensystem: waagrecht y-Achse (nach links), senkrecht z-Achse (nach oben)
(Das obere Koordinatensystem ist der Aufriss, es handelt sich um eine Projektion parallel zur x-Achse auf die yz-Ebene.)
Unteres Koordinatensystem: waagrecht y-Achse (nach links), senkrecht x-Achse (nach unten!)
(Das untere Koordinatensystem ist der Grundriss, es handelt sich um eine Projektion parallel zur z-Achse auf die xy-Ebene.)
(Die Koordinatenursprunge sind genau senkrecht übereinander).
Es empfieht sich genug Zwischenraum zwischen den beiden y-Achsen zu lassen. Wie zeichnet man Punkte ein: Sei P(3,5,2). Dann zeichnet man im Aufriss den Punkt P´´(5,2) (Der Aufriss von P (x-Koordinate vernachlässigen)) und im Grundriss den Punkt P'(3,5) (Der Grundriss von P (y-Koordinate vernachlässigen)).
Um die Situation zu zeichnen bestimmst du von jeder Gerade zwei Punkte und zeichnest sie in beide Risse ein. Du bekommst dann die Aufrisse g´´ rsp. h´´ und die Grundrisse g´ rsp. h´.
Die beidem Geraden schneiden sich genau dann, wenn ihre (scheinbaren) Schnittpunkte in den beiden Rissen die gleiche y-Koordinate haben. In diesem Fall kann man die Schnittpunktkoordinaten zeichnerisch bestimmen (im Aufriss y- und z- Koordinat, im Grundriss y- und x-Koordinate).
Es ist nicht so einfach, aus den beiden sich eine "dreidimensionale Vorstellung" der Objekte zu machen.
mfG Moudi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:38 Mo 21.02.2005 | | Autor: | Shinji |
Super, vielen Dank! Habe es gerade gezeichnet und kapiert.
Danke für die schnelle Hilfe!
Alexander
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:01 Mo 21.02.2005 | | Autor: | Butzemann |
in Deiner Rechnung ist kein Fehler. Jedoch kann man auf einige Lösungen mehr für lambda und mü kommen, wenn man sich andere Gleichungen vornimmt. Wenn ich an meine Schulzeit zurückdenke, würde ich fast tippen, daß Dein/e Leher/in sich verschrieben hat, wenn diese Möglichkeit besteht. Nach meinem Verständnis kann der Schnittpunkt nur an der Stelle sein, an der bei dem mü - Vektor gleiche y,z Koordinaten vorliegen, da dies bei dem lambda Vektor immer der Fall ist. Dem ist aber nicht so.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:36 Fr 24.04.2009 | | Autor: | DjeyKa |
| Aufgabe | | Gegeben ist das Viereck ABCD mit A(1;2;3), B(2;2;-1), C(1;1;6), D(2;1;4). Berechne den Schnittpunkt der Diagonalen. |
Wie man sieht, ist das Problem dasselbe, wie bei Alexander. Man bildet zwei Geraden (Punkt und Richtungsvektor) und setzt sie gleich. Ich hab's ein paar Mal nachgerechnet, bei mir kommt raus, dass die Geraden windschief sind. Ich hätte auch kein Problem damit, wenn in der Aufgabe nicht stehen würde "...berechne". Kann vielleicht jemand prüfen ob die Geraden sich schneiden? Danke im voraus.
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> Gegeben ist das Viereck ABCD mit A(1;2;3), B(2;2;-1),
> C(1;1;6), D(2;1;4). Berechne den Schnittpunkt der
> Diagonalen.
> Wie man sieht, ist das Problem dasselbe, wie bei
> Alexander. Man bildet zwei Geraden (Punkt und
> Richtungsvektor) und setzt sie gleich. Ich hab's ein paar
> Mal nachgerechnet, bei mir kommt raus, dass die Geraden
> windschief sind. Ich hätte auch kein Problem damit, wenn in
> der Aufgabe nicht stehen würde "...berechne". Kann
> vielleicht jemand prüfen ob die Geraden sich schneiden?
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Die Diagonalen haben keinen Schnittpunkt.
Du kannst auch nachrechnen, daß die 4 Punkt nicht in einer Ebene liegen.
Gruß v. Angela
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